RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР96. Функция плотности непрерывной случайной величины имет вид f(x) = {Cx^2, 0<=x<=2 {0, x<0, x>2 Определить константу C, построить функцию распределения F(x), вычислить вероятность P(-1<=X<=1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию. РЕШЕНИЕ. Константа C находится из условия int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = 1. 1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = = int_{0}^{2} Cx^2 dx = Cx^3/3 |_{0}^{2} = = 8C/3 => C=3/8 f(x) = {(3/8)*x^2, 0<=x<=2 {0, x<0, x>2 --------------------------------------------------------------------- F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt Если x<0, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0 dt = 0 Если 0<=x<=2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} 0 dt + int_{0}^{x} (3/8)t^2dt = = 0 + (1/8)t^3 |_{0}^{x} = (x^3)/8 Если x>2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{2} f(t)dt + + int_{2}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} 0 dt + int_{0}^{2} (3/8)t^2dt + + int_{2}^{x} 0 dt = = 0 + (1/8)t^3 |_{0}^{2} + 0 = 1 Функция распределения имеет вид {0, x<0 F(x) = {(x^3)/8, 0<=x<=2 {1, x>2 ----------------------------------------------------------------------------- P(-1<=X<=1) = F(1) - F(-1) = 1/8 - 0 = 1/8 ----------------------------------------------------------------------------- M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx = = int_{0}^{2} (3/8)x^3 = (3/32)(x^4) |_{0}^{2} = = (3/32)*16 = 3/2 M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx = int_{0}^{2} (3/8)x^4 = (3/40)(x^5) |_{0}^{2} = = (3/40)*32 = 12/5 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (12/5) - (9/4) = 3/20
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 14:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР97. Пусть задана случайная величина X, распределенная по закону N(1;4). Ввчислить вероятность P(0<X<3). РЕШЕНИЕ. N(1;4) => a=1; б=2 P(0<X<3) = Ф((3-1)/2) - Ф((0-1)/2) = Ф(1) - Ф(-0.5) = = Ф(1) + Ф(0.5) = 0.3413 + 0.1915 = 0.5328
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 14:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР98. Случайная величина X распределена по закону Коши f(x) = a/(1+x^2). Найти: а) коэффициент a; б) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-1;1). Показать, что математического ожидания X не существует. РЕШЕНИЕ. а) 1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} a*dx/(1+x^2) = = a*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} dx/(1+x^2) = = a*arctgx |_{-бесконечность}^{+бесконечность} = = a*( lim{x->+бесконечность} arctgx - - lim{x->-бесконечность} arctgx ) = = a*( П/2 + П/2) = a*П => a = 1/П f(x) = 1/П(1+x^2) б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{x} dt/П(1+t^2) = = (1/П)*int_{-бесконечность}^{x} dt/(1+t^2) = = (1/П)*arctg t |_{-бесконечность}^{x} = = (1/П)*arctgx - (1/П)*lim{t->-бесконечность} arctg t = = (1/П)*arctgx + (1/П)*(П/2) = = (1/П)*arctgx + 1/2 в) P(-1<X<1) = F(1) - F(-1) = = (1/П)*arctg(1) + 1/2 - (1/П)*arctg(-1) - 1/2 = = (1/П)*(П/4) + (1/П)*(П/4) = (1/4) + (1/4) = 1/2 M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx = = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xdx/П(1+x^2) = = (1/П)*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xdx/(1+x^2) = (1/П)*(1/2)*ln(1+x^2) |_{-бесконечность}^{+бесконечность} = бесконечность (Сообщение отредактировал RKI 21 янв. 2009 16:17)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 16:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР99. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и б^2. Показать, что величина (X-a)/б нормально распределена с параметрами 0 и 1. РЕШЕНИЕ. X~N(a;б^2) Плотность распределения случайной величины X имеет вид: f(x) = (1/бsqrt(2П))*e^(-((x-a)^2)/2б^2) Y = (X-a)/б F(y) = P(Y<y) = P((X-a)/б < y) = P(X<a+бy) = = int_{-бесконечность}^{a+бy} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{a+бy} (1/бsqrt(2П))*e^(-((x-a)^2)/2б^2) dt = Сделаем замену t=a+бz = int_{-бесконечность}^{y} (1/бsqrt(2П))*e^(-(z^2)/2) бdz = = int_{-бесконечность}^{y} (1/sqrt(2П))*e^(-(z^2)/2) dz = = (1/sqrt(2П))*int_{-бесконечность}^{y} e^(-(z^2)/2) dz F(y) = (1/sqrt(2П))*int_{-бесконечность}^{y} e^(-(z^2)/2) dz - функция распределения случайной величины Y f(y) = (1/sqrt(2П))*e^(-(y^2)/2) - плотность распределения случайной величины Y Y~N(0;1)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 18:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР100. Случайная величина X подчинена закону Симпсона на отрезке [-a;a]. Найти M(X) и D(X). РЕШЕНИЕ. Плотность распределения случайной величины X имеет вид {0, x<-a f(x) = {x+a, -a<=x<0 {a-x, 0<=x<=a {0, x>a M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x) dx = = int_{-бесконечность}^{-a} xf(x) dx + int_{-a}^{0} xf(x) dx + + int_{0}^{a} xf(x) dx + int_{a}^{+бесконечность} xf(x) dx = = int_{-бесконечность}^{-a} x*0 dx + + int_{-a}^{0} x(x+a) dx + int_{0}^{a} x(a-x) dx + + int_{a}^{+бесконечность} x*0 dx = = 0+ int_{-a}^{0} (x^2 +ax)dx + int_{0}^{a} (ax-x^2)dx +0 = = ((x^3)/3 + (ax^2)/2) |_{-a}^{0} + + ((ax^2)/2 - (x^3)/3) |_{0}^{a} = = (a^3)/3 - (a^3)/2 + (a^3)/2 - (a^3)/3 = 0 M(X) = 0 M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx = int_{-a}^{0} (x^2)(x+a)dx + int_{0}^{a} (x^2)(a-x)dx = = int_{-a}^{0} (x^3+ax^2)dx + int_{0}^{a} (ax^2-x^3)dx = = ((x^4)/4 + (ax^3)/3) |_{-a}^{0} + + ((ax^3)/3 - (x^4)/4) |_{0}^{a} = = -(a^4)/4 + (a^4)/3 + (a^4)/3 - (a^4)/4 = = (2a^4)/12 = (a^4)/6 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (a^4)/6 - 0 = (a^4)/6 D(X) = (a^4)/6
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 янв. 2009 18:41 | IP
|
|
Skavyy
Новичок
|
(Сообщение отредактировал Skavyy 21 янв. 2009 19:41)
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 21 янв. 2009 19:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР101. Плотность распределения случайной величины имеет вид f(x) = {C(x+1), -1<=x<=2 {0, x<-1, x>2 Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X) и вероятность P(X^2 <1). РЕШЕНИЕ. 1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = = int_{-бесконечность}^{-1} f(x)dx + int_{-1}^{2} f(x)dx + + int_{2}^{+бесконечность} f(x)dx = = int_{-бесконечность}^{-1} 0*dx + + int_{-1}^{2} C(x+1)dx + + int_{2}^{+бесконечность} 0*dx = = 0 + C*int_{-1}^{2} (x+1)dx + 0 = = (C(x+1)^2)/2 |_{-1}^{2} = 9C/2 1 = 9C/2 => C = 2/9 f(x) = {2(x+1)/9, -1<=x<=2 {0, x<-1, x>2 ----------------------------------------------------------------------------- F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt Если x<-1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0 Если -1<=x<=2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt + + int_{-1}^{x} 2(t+1)dt/9 = = 0 + (2/9)*int_{-1}^{x} (t+1)dt = = (2/9)*((t+1)^2)/2 |_{-1}^{x} = = (1/9)*(t+1)^2 |_{-1}^{x} = ((x+1)^2)/9 Если x>2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{2} f(t)dt + + int_{2}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt + + int_{-1}^{2} 2(t+1)dt/9 + int_{2}^{x} 0*dt = = 0 + (2/9)*int_{-1}^{2} (t+1)dt + 0 = = (2/9)*((t+1)^2)/2 |_{-1}^{2} = = (1/9)*(t+1)^2 |_{-1}^{2} = 1 F(x) = {0, x<-1 {((x+1)^2)/9, -1<=x<=2 {1, x>2 ---------------------------------------------------------------------------- M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx = = int_{-бесконечность}^{-1} xf(x)dx + int_{-1}^{2} xf(x)dx + + int_{2}^{+бесконечность} xf(x)dx = = int_{-бесконечность}^{-1} x*0 dx + + int_{-1}^{2} 2x(x+1)dx/9 + + int_{2}^{+бесконечность} x*0 dx = = 0 + (2/9)*int_{-1}^{2} (x^2 + x)dx + 0 = = (2/9)*( (x^3)/3 + (x^2)/2 ) |_{-1}^{2} = = (2/9)*(8/3 + 2 +1/3 - 1/2) = (2/9)*(9/2) = 1 M(X) = 1 ------------------------------------------------------------------------ M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx = int_{-1}^{2} (2/9)*(x^2)*(x+1)dx = = (2/9)*int_{-1}^{2} (x^3 + x^2)dx = = (2/9)*((x^4)/4 + (x^3)/3) |_{-1}^{2} = = (2/9)*(4 + 8/3 - 1/4 + 1/3) = (2/9)*(27/4) = 3/2 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3/2 - 1 = 1/2 ---------------------------------------------------------------------------- P(X^2<1) = P(-1<X<1) = F(1) - F(-1) = 4/9 - 0 = 4/9 (Сообщение отредактировал RKI 22 янв. 2009 13:13)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:01 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2;6]. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок [2;5] и на отрезок [5;7]. РЕШЕНИЕ. Плотность распределения случайной величины X: f(x) = {1/4, 2<=x<=6 {0, x<2, x>6 F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt Если x<2, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0 Если 2<=x<=6, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{2} f(t)dt + int_{2}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{2} 0*dt + int_{2}^{x} dt/4 = = 0 + (1/4)*int_{2}^{x} dt = (x-2)/4 Если x>6, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{2} f(t)dt + + int_{2}^{6} f(t)dt + int_{6}^{x} f(t)dt = = int_{-бесконечность}^{2} 0*dt + + int_{2}^{6} (dt/4) + int_{6}^{x} 0*dt = = 0 + (1/4)*int_{2}^{6} dt + 0 = (6-2)/4 = 1 Функция распределения случайной величины X: F(x) = {0, x<2 {(x-2)/4, 2<=x<=6 {1, x>6 P(2<=X<=5) = F(5) - F(2) = 3/4 - 0 = 3/4 P(5<=X<=7) = F(7) - F(5) = 1 - 3/4 = 1/4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР103. Случайные величины X1, X2, ..., Xn распределены и независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения: f(x) = {ae^(-ax), x>0 {0, x<=0 Найти функция распределения и плотность распределения величин: а) Y1 = min{X1, X2, ..., Xn} б) Y2 = max{X1, X2, ..., Xn} РЕШЕНИЕ. fi(x) = {ae^(-ax), x>0 {0, x<=0 P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt Если x<=0, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt = = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0 Если x>0, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} fi(t)dt + int_{0}^{x} fi(t)dt = = int_{-бесконечность}^{0} 0*dt + int_{0}^{x} ae^(-at) dt = = 0 + a*int_{0}^{x} e^(-at) dt = = a*(-1/a)*e^(-at) |_{0}^{x} = = -e^(-at) |_{0}^{x} = = -(e^(-ax)-1) = 1-e^(-ax) P(Xi>=x) = 1 - P(Xi<x) Если x<=0, то P(Xi>=x) = 1-0 = 1 Если x>0, то P(Xi>=x) = 1 - 1 + e^(-ax) = e^(-ax) а) Y1 = min{X1, X2, ..., Xn} F(y) = P(Y1<y) = 1 - P(Y1>=y) = 1 - P(min{X1, X2, ..., Xn}>=y) = = 1 - P(X1>=y, X2>=y, ..., Xn>=y) = случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы = 1 - P(X1>=y)*P(X2>=y)*...*P(Xn>=y) Если y<=0, то F(y) = 1-1 = 0 Если y>0, то F(y) = 1 - (e^(-ay))*(e^(-ay))*...*(e^(-ay)) = = 1 - e^(-nay) Функция распределения случайной величины Y1: F(y) = {0, y<=0 {1-e^(-nay), y>0 Плотность распределения случайной величины Y1: g(y) = {0, y<=0 {nae^(-nay), y>0 б) Y2 = max{X1, X2, ..., Xn} F(z) = P(Y2<z) = P(max{X1, X2, ..., Xn}<z) = = P(X1<z, X2<z, ..., Xn<z) = случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы = P(X1<z)*P(X2<z)*...*P(Xn<z) Если z<=0, то F(z) = 0 Если z>0, то F(z) = (1-e^(-az))*(1-e^(-az))*...*(1-e^(-az)) = = (1-e^(-az))^n Функция распределения случайной величины Y2: F(z) = {0, z<=0 { (1-e^(-az)), z>0 Плотность распределения случайной величины Y2: h(z) = {0, z<=0 {na(e^(-az))(1-e^(-az))^(n-1), z>0 (Сообщение отредактировал RKI 22 янв. 2009 13:57)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР104. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;2]. Найти плотность случайной величины Y=-sqrt(X+1). РЕШЕНИЕ. Пусть заданы плотность f(x) случайной величины X и монотонная дифференцируемая функция y=Ф(x). Тогда плотность распределения случайной величины Y=Ф(X) равна g(y) = f(Ф^(-1)(y))*|dФ^(-1)(y)/dy|. Здесь Ф^(-1)(y) - функция, обратная функции y=Ф(x). ------------------------------------------------------------------------------ Из условия задачи следует, что f(x) = {0, x<0, x>2 {1/2, 0<=x<=2 Функция y=-sqrt(x+1) является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0;2] и имеет обратную функцию x=Ф^(-1)(y) = y^2 - 1, производная которой равна dФ^(-1)(y)/dy = 2y. Следовательно, g(y) = f(Ф^(-1)(y))*|dФ^(-1)(y)/dy| = = f(y^2 - 1)*|2y| = = 2*|y|*{0, y^2-1<0, y^2-1>2 {1/2, 0<=y^2-1<=2 Значит, g(y) = {0, y<-sqrt(3), y>-1 {-y, -sqrt(3)<=y<=-1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 13:56 | IP
|
|
|