RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР141.
Случайная пара (X;Y) равномерно распределена на множестве
K = {(x;y): x>=0, 1>=y>=x}. Найти плотности X и Y, исследовать вопрос об их зависимости. Найти M(XY).
РЕШЕНИЕ.
K = {(x;y): x>=0, 1>=y>=x}
S(K) = (1/2)*1*1 = 1/2
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y имеет вид:
f(x,y) = {1/S(K), (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
f(x,y) = {2, (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<0, x>1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если 0<=x<=1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(x,y)dy +
+ int_{x}^{1} f(x,y)dy +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dy +
+ int_{x}^{1} 2*dy +
+ int_{1}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + 2*int_{x}^{1} dy + 0 = 2(1-x)
Частная плотность распределения случайной величины X имеет вид:
g(x) = {2(1-x), 0<=x<=1
{0, x<0, x>1
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<0, y>1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<=y<=1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dx +
+ int_{0}^{y} f(x,y)dx +
+ int_{y}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{y} 2*dx +
+ int_{y}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + 2*int_{0}^{y} dx + 0 = 2y
Частная плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
h(y) = {2y, 0<=y<=1
{0, y<0, y>1
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
M(XY) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} int_{
-бесконечность}^{+бесконечность} xy*f(x,y) dxdy =
= int int_{K} xy*2*dxdy = 2*int int_{K} xy*dxdy =
= 2*int_{0}^{1} xdx int_{x}^{1} ydy =
= int_{0}^{1} x(1-(x^2)) dx = int_{0}^{1} (x - (x^3))dx =
= (x^2)/2 - (x^4)/4 |_{0}^{1} = 1/2 - 1/4 = 1/4
M(XY) = 1/4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2009 18:48 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР142.
Случайный вектор (X;Y) равномерно распределен внутри круга с радиусом r=3 и с центром в начале координат. Записать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины. Вычислить вероятность P(X>0, Y>0).
РЕШЕНИЕ.
C = {(x,y): (x^2) + (y^2) <= 9} - круг с радиусом r=3 и с центром в начале координат
S(C) = 9П
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y имеет вид:
f(x,y) = {1/S(C), (x,y) из C
{0, (x,y) не из C
f(x,y) = {1/(9П), (x,y) из C
{0, (x,y) не из C
-------------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<-3, x>3, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если -3<=x<=3, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{-sqrt(9-(x^2))} f(x,y)dy +
+ int_{-sqrt(9-(x^2))}^{sqrt(9-(x^2))} f(x,y)dy +
+ int_{sqrt(9-(x^2))}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{-sqrt(9-(x^2))} 0*dy +
+ int_{-sqrt(9-(x^2))}^{sqrt(9-(x^2))} (1/(9П))*dy +
+ int_{sqrt(9-(x^2))}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/(9П))*int_{-sqrt(9-(x^2))}^{sqrt(9-(x^2))} dy + 0 =
= (2/(9П))*sqrt(9-(x^2))
Частная плотность распределения случайной величины X Имеет вид:
g(x) = {(2/(9П))*sqrt(9-(x^2)), -3<=x<=3
{0, x<-3, x>3
---------------------------------------------------------------------------
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<-3, y>3, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если -3<=y<=3, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{-sqrt(9-(y^2))} f(x,y)dx +
+ int_{-sqrt(9-(y^2))}^{sqrt(9-(y^2))} f(x,y)dx +
+ int_{sqrt(9-(y^2))}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{-sqrt(9-(y^2))} 0*dx +
+ int_{-sqrt(9-(y^2))}^{sqrt(9-(y^2))} (1/(9П))*dx +
+ int_{sqrt(9-(y^2))}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/(9П))*int_{-sqrt(9-(y^2))}^{sqrt(9-(y^2))} dx + 0 =
= (2/(9П))*sqrt(9-(y^2))
Частная плотность распределения случайной величины Y Имеет вид:
h(y) = {(2/(9П))*sqrt(9-(y^2)), -3<=y<=3
{0, y<-3, y>3
--------------------------------------------------------------------------
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
--------------------------------------------------------------------------
B = {(x,y): x>0, y>0}
B1 - пересечение B и C
B2 - пересечение B и не C
B = B1 U B2
B1 = {(x,y): (x^2) + (y^2) <= 9; x>0; y>0}
S(B1) = 9П/4
P(X>0, Y>0) = P((X,Y) из B) = int int_{B} f(x,y) dxdy =
= int int_{B1} f(x,y) dxdy + int int_{B2} f(x,y) dxdy =
= int int_{B1} (1/(9П))*dxdy + int int_{B2} 0*dxdy =
= (1/(9П))*int int_{B1} dxdy + 0 =
= (1/(9П))*S(B1) = (1/(9П))*(9П/4) = 1/4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 9:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР143.
Случайные величины X и Y независимы и распределены по показательному закону с параметром a=2. Найти P(2X+Y<2).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром a=2. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {2(e^(-2x)), x>=0
{0, x<0
Случайная величина Y распределена по показательному закону с параметром a=2. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {2(e^(-2y)), y>=0
{0, y<0
Рассмотрим случайную величину 2X.
F(t) = P(2X<t) = P( X<t/2 ) = int_{-бесконечность}^{t/2} f(x)dx
Если t<0, то F(t) = int_{-бесконечность}^{t/2} 0*dx = 0
Если t>=0, то F(t) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{t/2} f(x)dx = int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{t/2} 2(e^(-2x))dx = 0 - (e^(-2x)) |_{0}^{t/2} =
= - ((e^(-t)) - 1) = 1 - (e^(-t))
Функция распределения случайной величины 2X имеет вид:
F(t) = {1 - (e^(-t)), t>=0
{0, t<0
Тогда плотность распределения случайной величины 2X имеет вид:
h(t) = {e^(-t), t>=0
{0, t<0
Плотность распределения случайной величины 2X+Y вычисляется по формуле свертки:
p(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} h(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} h(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} h(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} h(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} h(x-y)*2*(e^(-2y)) dy =
= 0 + 2*int_{0}^{+бесконечность} h(x-y)*(e^(-2y)) dy =
= 2*int_{0}^{+бесконечность} h(x-y)*(e^(-2y)) dy =
сделаем замену z=x-y
= 2*int_{x}^{-бесконечность} h(z)*(e^(2z-2x)) (-dz) =
= 2*int_{-бесконечность}^{x} h(z)*(e^(2z-2x)) dz
Если x<0, то
p(x) = 2*int_{-бесконечность}^{x} 0*(e^(2z-2x)) dz = 0
Если x>=0, то
p(x) = 2*int_{-бесконечность}^{0} h(z)*(e^(2z-2x)) dz +
+ 2*int_{0}^{x} h(z)*(e^(2z-2x)) dz =
= 2*int_{-бесконечность}^{0} 0*(e^(2z-2x)) dz +
+ 2*int_{0}^{x} (e^(-z))*(e^(2z-2x)) dz =
= 0 + 2*int_{0}^{x} (e^(z-2x)) dz =
= 2*int_{0}^{x} (e^(z))*(e^(-2x)) dz =
= 2*(e^(-2x))*int_{0}^{x} (e^(z))dz =
= 2*(e^(-2x))*(e^(z)) |_{0}^{x} =
= 2*(e^(-2x))*((e^(x)) - 1) = 2*(e^(-x)) - 2*(e^(-2x))
Плотность распределения случайной величины 2X+Y равна
p(x) = {2*(e^(-x)) - 2*(e^(-2x)), x>=0
{0, x<0
P(2X+Y<2) = int_{-бесконечность}^{2} p(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} p(x)dx + int_{0}^{2} p(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{2} p(x)dx =
= 0 = int_{0}^{2} [ 2*(e^(-x)) - 2*(e^(-2x)) ] dx =
= 2*int_{0}^{2} (e^(-x)) dx - int_{0}^{2} 2*(e^(-2x)) dx =
= -2*(e^(-x)) |_{0}^{2} + (e^(-2x)) |_{0}^{2} =
= -2*e^(-2) + 2 + e^(-4) - 1 = e^(-4) - 2*e^(-2) + 1 =
= ((e^(-2)) - 1)^2 = 0.747645....
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 11:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР144.
Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках [0;1] и [-1;1]. Найти вероятность
P( XY <= 1/2 ).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1, 0<=x<=1
{0, x<0, x>1
Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке
[-1;1]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1/2, -1<=y<=1
{0, y<-1, y>1
П = {(x,y): 0<=x<=1, -1<=y<=1}
Так как случайные величины X и Y независимы, то совместная плотность распределения случайных величин X и Y равна:
h(x,y) = f(x)*g(y)
h(x,y) = {1/2, (x,y) из П
{0, (x,y) не из П
B = {(x,y): xy <= 1/2}
B1 - пересечение B и П
B2 - пересечение B и не П
S(B1) = 1*1 + 1*(1/2) + int_{1/2}^{1} dx/(2x) =
= (3/2) + (1/2)*int_{1/2}^{1} dx/x =
= (3/2) + (1/2)*ln|x| |_{1/2}^{1} =
= (3/2) + (1/2)*ln1 - (1/2)*ln(1/2) = (3/2) - (1/2)*ln(1/2) =
= (3/2) + (1/2)*ln2
P( XY <= 1/2 ) = P( (X,Y) из B ) = int int_{B} h(x,y)dxdy =
= int int_{B1} h(x,y)dxdy + int int_{B2} h(x,y)dxdy =
= int int_{B1} (1/2)dxdy + int int_{B2} 0*dxdy =
= (1/2)*int int_{B1} + 0 = (1/2)*S(B1) =
= (3/4) + (1/4)*ln2 = 0.923286...
(Сообщение отредактировал RKI 2 фев. 2009 16:36)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 14:26 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР145.
Пара случайных величин X и Y равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6;0), (-3;4), (3;4), (6;0). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли X и Y?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим точки следующим образом: A (-6;0), B (-3;4),
C (3;4) и D (6;0).
Основания AD и BC равны: AD = 12; BC = 6
Опустим высоту BH. Точка H имеет координаты (-3;0). Высота BH равна: BH = 4
S(ABCD) = (1/2)*BH*(BC+AD) = (1/2)*4*(6+12) = 36
Совместная плотность распределения случайных величин X и Y равна:
f(x,y) = {1/S(ABCD), (x,y) из трапеции
{0, в остальных случаях
f(x,y) = {1/36, (x,y) из трапеции
{0, в остальных случаях
-----------------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<-6, x>6, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если -6<=x<=-3, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dy +
+ int_{0}^{(4/3)x+8} f(x,y)dy +
+ int_{(4/3)x+8}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dy +
+ int_{0}^{(4/3)x+8} (1/36)dy +
+ int_{(4/3)x+8}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/36)* int_{0}^{(4/3)x+8} dy + 0 =
= (1/36)*[(4/3)x+8] = (1/27)*(x+6)
Если -3<x<3, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y) dy +
+ int_{0}^{4} f(x,y) dy + int_{4}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dy +
+ int_{0}^{4} (1/36)*dy + int_{4}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/36)*int_{0}^{4} dy + 0 = 4/36 = 1/9
Если 3<=x<=6, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dy +
+ int_{0}^{-(4/3)x+8} f(x,y)dy +
+ int_{-(4/3)x+8}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dy +
+ int_{0}^{-(4/3)x+8} (1/36)dy +
+ int_{-(4/3)x+8}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + (1/36)* int_{0}^{-(4/3)x+8} dy + 0 =
= (1/36)*[-(4/3)x+8] = (1/27)*(6-x)
Частная плотность распределения случайной величины X равна:
g(x) = {0, x<-6
{(1/27)*(x+6), -6<=x<=-3
{1/9, -3<x<3
{(1/27)*(6-x), 3<=x<=6
{0, x>6
--------------------------------------------------------------------------
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<0, y>4, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<=y<=4, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{(3/4)y-6} f(x,y)dx +
+ int_{(3/4)y-6}^{-(3/4)y+6} f(x,y)dx +
+ int_{-(3/4)y+6}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{(3/4)y-6} 0*dx +
+ int_{(3/4)y-6}^{-(3/4)y+6} (1/36)dx +
+ int_{-(3/4)y+6}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + (1/36)*int_{(3/4)y-6}^{-(3/4)y+6} dx + 0 =
= (1/36)*[-(3/2)y+12] = (1/24)*(8-y)
Частная плотность распределения случайной величины Y равна:
h(y) = {0, y<0, y>4
{(1/24)*(8-y), 0<=y<=4
-------------------------------------------------------------
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 15:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР146.
Пара случайных величин X и Y равномерно распределена внутри треугольника K = {(x,y): x+y<=1, x>=0, y>=0}. Вычислить плотности X и Y. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность P(X<=3/4).
РЕШЕНИЕ.
K = {(x,y): x+y<=1, x>=0, y>=0}
S(K) = (1/2)*1*1 = 1/2
Совместная плотность распределения случайных величин X И Y равна:
f(x,y) = {1/S(K), (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
f(x,y) = {2, (x,y) из K
{0, (x,y) не из K
------------------------------------------------------------------
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy
Если x<0, x>1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0
Если 0<=x<=1, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dy +
+ int_{0}^{1-x} f(x,y)dy +
+ int_{1-x}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dy +
+ int_{0}^{1-x} 2*dy +
+ int_{1-x}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + 2*int_{0}^{1-x} dy + 0 = 2(1-x)
Частная плотность распределения случайной величины X равна:
g(x) = {2(1-x), 0<=x<=1
{0, x<0, x>1
----------------------------------------------------------------------
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dx
Если y<0, y>1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<=y<=1, то
h(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x,y)dx +
+ int_{0}^{1-y} f(x,y)dx +
+ int_{1-y}^{+бесконечность} f(x,y)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{1-y} 2*dx +
+ int_{1-y}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + 2*int_{0}^{1-y} dx + 0 = 2(1-y)
Частная плотность распределения случайной величины Y равна:
h(y) = {2(1-y), 0<=y<=1
{0, y<0, y>1
---------------------------------------------------------------------
f(x,y) =/= g(x)*h(y) => случайные величины X и Y зависимы
-------------------------------------------------------------------
P( X <= 3/4 ) = int_{-бесконечность}^{3/4} g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} g(x)dx + int_{0}^{3/4} g(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{3/4} 2(1-x)dx =
= 0 + (2x - (x^2)) |_{0}^{3/4} = 2*(3/4) - 9/16 = 15/16
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 18:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР147.
Найти плотности распределения произведения двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y равномерно распределены на [0;a]. Следовательно, случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в квадрате [0;a]x[0;a].
Z=XY
F(z) = P(Z<z) = P(XY<z)
Воспользуемся геометрической вероятностью.
Если z<=0, то F(z)=0.
Если 0<z<=(a^2), то
F(z) = (1/(a^2))*( (z/a)*a + int_{z/a}^{a} zdt/t) =
= (1/(a^2))*( z + z*ln|t| |_{z/a}^{a} ) =
= (z/(a^2))*( 1 + lna - ln(z/a) ) = (z/(a^2))*( 1 + lna - lnz + lna ) =
= (z/(a^2))*( 1 - lnz + 2lna )
Если z>(a^2), то F(z)=1
Функция распределения случайной величины Z имеет вид:
F(z) = {0, z<=0
{(z/(a^2))*( 1 - lnz + 2lna ), 0<z<=(a^2)
{1, z>(a^2)
Плотность распределения случайной величины Z имеет вид:
f(z) = {0, z<=0, z>(a^2)
{(1/(a^2))*( 2lna - lnz ), 0<z<=(a^2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 18:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 19 нояб. 2009 9:31)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 фев. 2009 12:13 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 19 нояб. 2009 12:42)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 фев. 2009 12:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 19 нояб. 2009 9:31)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 фев. 2009 12:20 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
