RKI 
Долгожитель
|
   
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2009 17:56)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 фев. 2009 11:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2009 18:16)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 фев. 2009 11:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2009 19:48)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 фев. 2009 11:47 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 7 дек. 2009 21:26)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 фев. 2009 11:59 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
schekutova
Перенесите Ваши задачи в раздел "Теория вероятностей-2"
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 фев. 2009 12:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР270.
Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 4 бракованных, выбраны случайным способом 3 изделия для проверки качества. Построить ряд распределения случайного числа Х бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число бракованных изделий в выборке. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - все три изделия стандартные
{X=1} - 1 изделие бракованное и 2 изделия стандартные
{X=2} - 2 изделия бракованные и 1 изделие стандартное
{X=3} - все три изделия бракованные
n=3
p = 4/20 = 0.2 - вероятность того, что изделие бракованное
q = 1-p = 0.8 - вероятность того, что изделие стандартное
P(X=0) = (0.8)*(0.8)*(0.8) = 0.512
P(X=1) = C(1;3)*(0.2)*(0.8)*(0.8) = 0.384
P(X=2) = C(2;3)*(0.2)*(0.2)*(0.8) = 0.096
P(X=3) = (0.2)*(0.2)*(0.2) = 0.008
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<0
{0.512, 0<=x<1
{0.896, 1<=x<2
{0.992, 2<=x<3
{1, x>=3
Математическое ожидание
M(X) = 0*(0.512) + 1*(0.384) + 2*(0.096) + 3*(0.008) =
= 0 + 0.384 + 0.192 + 0.024 = 0.6
M(X^2) = 0*(0.512) + 1*(0.384) + 4*(0.096) + 9*(0.008) =
= 0 + 0.384 + 0.384 + 0.072 = 0.84
Дисперсия
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 0.84 - 0.36 = 0.48
Среднеквадратическое отклонение
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(0.48)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 9:01 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР271.
Случайная величина Х задана плотностью распределения
f(x) = {0, х<=1, x>4
{A*(x^2), 1<x<=4
Определить:
а) параметр А;
б) функцию распределения F(x);
в) Мо, Ме, МХ, DX, б(Х);
г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случайная величина Х попадает ровно два раза в интервал (0;2).
РЕШЕНИЕ.
a) f(x) = {0, x<=1, x>4
{A*(x^2), 1<x<=4
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x)dx + int_{1}^{4} f(x)dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dx + int_{1}^{4} A*(x^2)*dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + A*int_{1}^{4} (x^2)dx + 0 =
= A*(x^3)/3 |_{1}^{4} = A*(64/3 - 1/3) = A*(63/3) = 21A
A = 1/21
f(x) = {0, x<=1, x>4
{(1/21)*(x^2), 1<x<=4
----------------------------------------------------------------------------
б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<=1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1<x<=4, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt +
+ int_{1}^{x} (1/21)(t^2)dt =
= 0 + (1/63)(t^3) |_{1}^{x} =
= (1/63)(x^3 - 1)
Если x>4, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{4} f(t)dt +
+ int_{4}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt +
+ int_{1}^{4} (1/21)(t^2)dt + int_{4}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/63)(t^3) |_{1}^{4} + 0 =
= (1/63)(64 - 1) = 1
F(x) = {0, x<=1
{(1/63)(x^3 - 1), 1<x<=4
{1, x>4
--------------------------------------------------------------------------
в) P(X<Me) = F(Me) = 0.5
F(Me) = (1/63)((Me)^3 - 1) = 0.5
(Me)^3 - 1 = 31.5
(Me)^3 = 32.5
Me = корень третьей степени из 32.5
Mo = f(4) = 48/63
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} xf(x)dx + int_{1}^{4} xf(x)dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} x*0*dx +
+ int_{1}^{4} (1/21)(x^3)dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (1/84)(x^4) |_{1}^{4} + 0 =
= (1/84)*(256-1) = 255/84 = 85/28
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{1}^{4} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)*0*dx +
+ int_{1}^{4} (1/21)(x^4)dx +
+ int_{4}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (1/105)(x^5) |_{1}^{4} + 0 =
= (1/105)*(1024-1) = 1023/105 = 341/35
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (341/35) - (7225/784) =
= (38192-36125)/3920 = 2067/3920
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(2067/3920)
----------------------------------------------------------------------------
г) P(0<X<2) = F(2) - F(0) = (1/63)*(8-1) - 0 = 1/9
P(X не из (0;2)) = 1 - P(0<X<2) = 1 - 1/9 = 8/9
A = {при четырех испытания случайная величина X два раза попадет в интервал (0;2)}
P(A) = C(2;4)*(1/9)^2*(8/9)^2 = 6*(1/81)*(64/81) = 128/2187
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 9:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР272.
С вероятностью попадания при одном выстреле 0,9 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х - числа промахов. Найти числовые характеристики случайной величины Х. Построить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число промахов до первого попадания. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - при первом выстреле стрелок попал в дичь
{X=1} - первый раз стрелок промахнулся, второй раз попал в дичь
{X=2} - первый два раза стрелок промахнулся, третий раз попал в дичь
{X=3} - первые три раза стрелок промахнулся, четвертый раз попал
{X=4} - стрелок промахнулся все четыре раза
P(X=0) = 0.9
P(X=1) = (0.1)*(0.9) = 0.09
P(X=2) = (0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.009
P(X=3) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.9) = 0.0009
P(X=4) = (0.1)*(0.1)*(0.1)*(0.1) = 0.0001
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 0 1 2 3 4
P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001
Математическое ожидание
M(X) = 0*(0.9) + 1*(0.09) + 2*(0.009) + 3*(0.0009) +
+ 4*(0.0001) =
= 0 + 0.09 + 0.018 + 0.0027 + 0.0004 = 0.1111
M(X^2) = 0*(0.9) + 1*(0.09) + 4*(0.009) + 9*(0.0009) +
+ 16*(0.0001) =
= 0 + 0.09 + 0.036 + 0.0081 + 0.0016 = 0.1357
Дисперсия
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= 0.1357 - 0.01234321 = 0.12335679
Среднеквадратическое отклонение
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(0.12335679)
Функция распределения случайной величины X имеет вид
F(x) = {0, x<0
{0.9, 0<=x<1
{0.99, 1<=x<2
{0.999, 2<=x<3
{0.9999, 3<=x<4
{1, x>=4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 9:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР273.
Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки равна 99%, необработанных - 85%.
а) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет?
б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?
РЕШЕНИЕ.
а) A = {случайно взятое семя взойдет}
H1 = {семя обработано раствором}
H2 = {семя не обработано раствором}
P(H1) = 0.95
P(H2) = 0.05
P(A|H1) = 0.99
P(A|H2) = 0.85
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) =
= (0.95)*(0.99) + (0.05)*(0.85) =
= 0.9405 + 0.0425 = 0.983
б) По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = (0.95)*(0.99)/(0.983) =
= (0.9405)/(0.983) = 9405/9830 = 1881/1966
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 9:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР274.
Случайная величина Х задана плотностью распределения
f(x) = {0, х<=1, x>2
{A(x-0,5), 1<x<=2
Определить:
а) параметр А;
б) функцию распределения F(x);
в) Мо, Ме, МХ, DX, б(Х);
г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях с.в. Х попадает ровно два раза в интервал (0,5;1,5).
РЕШЕНИЕ.
а) f(x) = {0, x<=1, x>2
{A(x-0.5), 1<x<=2
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{2} f(x)dx + int_{2}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dx +
+ int_{1}^{2} A(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + A*int_{1}^{2} (x-0.5)dx + 0 =
= A*(x^2/2 - 0.5x) |_{1}^{2} =
= A*(1 - 0) = A
A = 1
f(x) = {0, x<=1, x>2
{(x-0.5), 1<x<=2
------------------------------------------------------------------------
б) F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<=1, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1<x<=2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-0.5)dt =
= 0 + (t^2/2-0.5t) |_{1}^{x} =
= x^2/2 - 0.5x = 0.5(x^2) - 0.5x = 0.5x(x-1)
Если x>2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt + int_{1}^{2} f(t)dt +
+ int_{2}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-0.5)dt +
+ int_{2}^{x} 0*dt =
= 0 + (t^2/2-0.5t) |_{1}^{2} + 0 = (1-0) = 1
F(x) = {0, x<=1
{0.5x(x-1), 1<x<=2
{1, x>2
--------------------------------------------------------------------------
в) P(X<Me) = F(Me) = 0.5
(0.5)*(Me)*(Me-1) = 0.5
(Me)^2 - (Me) - 1 = 0
Me = (1+sqrt(5))/2
Mo = f(2) = 2 - 0.5 = 1.5
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} xf(x)dx + int_{1}^{2} xf(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} x*0*dx +
+ int_{1}^{2} x(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + int_{1}^{2} (x^2 - 0.5x)dx + 0
= (x^3/3 - x^2/4) |_{1}^{2} =
= 5/3 - 1/12 = 19/12
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)f(x)dx +
+ int_{1}^{2} (x^2)f(x)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} (x^2)*0*dx +
+ int_{1}^{2} (x^2)(x-0.5)dx +
+ int_{2}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + int_{1}^{2} (x^3 - 0.5x^2)dx + 0
= (x^4/4 - x^3/6) |_{1}^{2} =
= 8/3 - 1/12 = 31/12
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 31/12 - 361/144 =
= (372 - 361)/144 = 11/144
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(11)/12
---------------------------------------------------------------------
г) P(X из (0.5;1.5)) = F(1.5) - F(0.5) = (0.5)*(1.5)*(0.5) - 0 =
= 0.375
P(X не из (0.5;1.5)) = 1 - 0.375 = 0.625
A = {при четырех испытаниях случайная величина X два раза попадает в интервал (0.5;1.5)}
P(A) = C(2;4)*(0.375)^2*(0.625)^2 =
= 6*(3/8)^2*(5/8)^2 =
= 6*(9/64)*(25/64) = 675/2048
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 марта 2009 9:15 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
