RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР29. Три стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4; третьим – 0.7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения. РЕШЕНИЕ. Обозначим X - число попаданий в мишень. Данная случайная величина может принимать следующие значения: {X=0} - все три стрелка промахнулись {X=0} = {1Н 2Н 3Н} {X=1} - попал один стрелок {X=1} = {1П 2Н 3Н; 1Н 2П 3Н; 1Н 2Н 3П} {X=2} - попало два стрелка {X=2} = {1П 2П 3Н; 1П 2Н 3П; 1Н 2П 3П} {X=3} - попало три стрелка {X=3} = {1П 2П 3П} P(X=0) = 0.5*0.6*0.3 = 0.09 P(X=1) = 0.5*0.6*0.3 + 0.5*0.4*0.3 + 0.5*0.6*0.7 = 0.36 P(X=2) = 0.5*0.4*0.3 + 0.5*0.6*0.7 + 0.5*0.4*0.7 = 0.41 P(X=3) = 0.5*0.4*0.7 = 0.14 Ряд распределения данной случайной величины имеет вид 0 1 2 3 0.09 0.36 0.41 0.14 M(X) = 0*0.09 + 1*0.36 + 2*0.41 + 3*0.14 = 1.6 M(X^2) = 0*0.09 + 1*0.36 + 4*0.41 + 9*0.14 = 3.26 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.26 - 2.56 = 0.7 Функция распределения случайной величины имеет вид {0, X<0 {0.09, 0<=X<1 F(X) = {0.45, 1<=X<2 {0.86, 2<=X<3 {1, X>=3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 нояб. 2008 14:21 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР30. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2 . Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М(Х)=2,6 и среднее квадратическое отклонение сигма(X)=0.8, и вероятность того, что X примет значение x1 равна 0,2. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X имеет следующий ряд распределения x1 x2 0.2 0.8 M(X) = x1*0.2 + x2*0.8 = 2.6 x1*0.2 + x2*0.8 = 2.6 x1 + 4x2 = 13 (*) M(X^2) = (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 - 6.76 D(X) = (сигма(X))^2 = 0.64 (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 - 6.76 = 0.64 (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 = 7.4 (x1)^2 + 4(x2)^2 = 37 (**) Из (*) x1 = 13-4x2 (*) Тогда (**) примет вид (13-4x2)^2 + 4(x2)^2 = 37 169 - 104x2 + 16(x2)^2 + 4(x2)^2 = 37 20(x2)^2 - 104x2 + 132 = 0 5(x2)^2 - 26x2 + 33 = 0 x2=2.2 x1=13-4x2=4.2 (это не подходит, так как по условию задачи x1<x2) x2=3 x1=13-4x2=1 Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид 1 3 0.2 0.8 Функция рапределения случайной величины имеет вид {0, X<1 F(X) = {0.2, 1<=X<3 {1, X>=3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 нояб. 2008 14:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР31. В ящике находится 15 деталей, из них 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Количество извлеченных окрашенных деталей - случайная величина. Найти дисперсию. РЕШЕНИЕ. X - количество извлеченных окрашенных деталей. Случайная величина X может принимать следующие значения {X=0} - отсутствие в выборке окрашенных деталей {X=1} - в выборке одна окрашенная деталь {X=2} - в выборке две окрашенных детали {X=3} - в выборке три окрашенных детали {X=4} - все детали выборки окрашены Возможностей выбрать 4 детали из имеющихся 15 n = C из 15 по 4 = 15!/11!4! = 1365 Возможностей выбрать 4 неокрашенных детали и 5 имеющихся неокрашенных m0 = C из 5 по 4 = 5!/4!1! = 5 Возможностей выбрать 1 окрашенную деталь (из 10 имеющихся) и 3 неокрашенных (из 5 имеющихся) m1 = 10*C из 5 по 3 = 10*5!/3!2! = 100 Возможностей выбрать 2 окрашенных детали (из 10 имеющихся) и 2 неокрашенных (из 5 имеющихся) m2 = C из 10 по 2*C из 5 по 2 = 10!/2!8! * 5!/3!2! = 450 Возможностей выбрать 3 окрашенных детали (из 10 имеющихся) и 1 неокрашенную (из 5 имеющихся) m3 = C из 10 по 3*5 = 10!/3!7! * 5 = 600 Возможностей выбрать 4 окрашенных детали (из 10 имеющихся) m4 = C из 10 по 4 = 10!/4!6! = 210 P(X=0) = m0/n = 5/1365 = 1/273 P(X=1) = m1/n = 100/1365 = 20/273 P(X=2) = m2/n = 450/1365 = 90/273 = 30/91 P(X=3) = m3/n = 600/1365 = 120/273 = 40/91 P(X=4) = m4/n = 210/1365 = 42/273 = 14/91 Ряд распределения случайной величины X имеет вид: 0 1 2 3 4 1/273 20/273 30/91 40/91 14/91 M(X)=0*1/273+1*20/273+2*90/273+3*120/273+4*42/273= =728/273 M(X^2)=0*1/273+1*20/273+4*90/273+9*120/273+16*42/273= =2132/273 D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=2132/273-728*728/273*273= =52052/74529
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 0:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР32. Совместный закон распределения случайных величин Х и Y задан таблицей: | Y X | | 3 5 8 1 0.20 0.10 0.05 2 0.10 0.20 0.35 Найти коэффициент корреляции ро(X; Y). РЕШЕНИЕ. M(X) = 1*(0.2+0.1+0.05) + 2*(0.1+0.2+0.35) = 1.65 M(X^2) = 1*(0.2+0.1+0.05) + 4*(0.1+0.2+0.35) = 2.95 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2.95 - 2.7225 = 0.2275 M(Y) = 3*(0.2+0.1) + 5*(0.1+0.2) + 8*(0.05+0.35) = 5.6 M(Y^2) =9*(0.2+0.1) + 25*(0.1+0.2) + 64*(0.05+0.35) = 35.8 D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 35.8 - 31.36 = 4.44 Постороим случайную величину XY. Случайная величина XY может принимать следующие значения. XY | 3 5 6 8 10 16 P(XY=3) = P(X=1,Y=3) = P(X=1)P(Y=3) = = (0.2+0.1+0.05)(0.2+0.1) = 0.105 P(XY=5) = P(X=1,Y=5) = P(X=1)P(Y=5) = = (0.2+0.1+0.05)(0.1+0.2) = 0.105 P(XY=6) = P(X=2,Y=3) = P(X=2)P(Y=3) = = (0.1+0.2+0.35)(0.2+0.1) = 0.195 P(XY=8) = P(X=1,Y=8) = P(X=1)P(Y=8) = = (0.2+0.1+0.05)(0.05+0.35) = 0.14 P(XY=10) = P(X=2,Y=5) = P(X=2)P(Y=5) = = (0.1+0.2+0.35)(0.1+0.2) = 0.195 P(XY=16) = P(X=2,Y=8) = P(X=2)P(Y=8) = = (0.1+0.2+0.35)(0.05+0.35) = 0.26 Ряд распределения случайной величины XY имеет вид XY | 3 5 6 8 10 16 0,105 0,105 0,195 0,14 0,195 0,26 M(XY) = 3*0.105+5*0.105+6*0.195+8.014+10*0.195+16*0.26= =9.24 cov(X; Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 9.24 - 1.65*5.6 = 0 ро(X; Y) = cov(X; Y)/sqrt(D(X)D(Y)) = 0 (Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 13:20) (Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 13:34)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 13:05 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР33. Совместный закон распределения дискретных случайных величин задан таблицей: | Y X| | 3 5 8 1 0.20 0.10 0.05 2 0.10 0.20 0.35 а) найти условный закон распределения случайной величины Y при условии, что Х=1, Х=2 б) найти условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y=3, Y=5, Y=8 в) найти законы распределения случайной величины Х и случайной величины Y РЕШЕНИЕ. а) Y|X=1 | 3 5 8 P(Y=3|X=1) = 0.2/0.35 = 4/7 P(Y=5|X=1) = 0.1/0.35 = 2/7 P(Y=8|X=1) = 0.05/0.35 = 1/7 Y|X=1 | 3 5 8 4/7 2/7 1/7 --------------------------------------------------- Y|X=2 | 3 5 8 P(Y=3|X=2) = 0.1/0.65 = 2/13 P(Y=5|X=2) = 0.2/0.65 = 4/13 P(Y=8|X=2) = 0.35/0.65 = 7/13 Y|X=1 | 3 5 8 2/13 4/13 7/13 б) X|Y=3 | 1 2 P(X=1|Y=3) = 0.2/0.3 = 2/3 P(X=2|Y=3) = 0.1/0.3 = 1/3 X|Y=3 | 1 2 2/3 1/3 --------------------------------------------------- X|Y=5 | 1 2 P(X=1|Y=5) = 0.1/0.3 = 1/3 P(X=2|Y=5) = 0.2/0.3 = 2/3 X|Y=5 | 1 2 1/3 2/3 ------------------------------------------------------------ X|Y=8 | 1 2 P(X=1|Y=8) = 0.05/0.4 = 1/8 P(X=2|Y=8) = 0.35/0.4 = 7/8 X|Y=8 | 1 2 1/8 7/8 в) X| 1 2 0.35 0.65 Y| 3 5 8 0.3 0.3 0.4 (Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 14:01)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 13:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР34. Результаты наблюдений за временем решения 10 задач приведены в таблице: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 25 20 20 23 19 22 21 25 28 Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии времени решения задачи. РЕШЕНИЕ. Оценка математического ожидания находится по формуле m = (30+25+20+20+23+19+22+21+25+28)/10 = 233/10 = 23.3 Оценка дисперсии находитсяпо формуле D = (900+625+400+400+529+361+484+441+625+784)/10 - - (23.3)^2 = = 5549/10 - 542.89 = 12.01
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 15:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР35. Результаты измерения роста и веса пяти курсантов приведены в таблице. Вычислите коэффициент корреляции между ростом и весом. 1 2 3 4 5 170 175 172 177 180 65 63 63 66 69 РЕШЕНИЕ. X=(170+175+172+177+180)/5 = 174.8 Y=(65+63+63+66+69)/5 = 65.2 A=(170-174.8)(65-65.2)+(175-174.8)(63-65.2)+ +(172-174.8)(63-65.2)+(177-174.8)(66-65.2)+ +(180-174.8)(69-65.2)= =0.96-0.44-6.16+1.76+19.76=15.88 B=(170-174.8)^2+(175-174.8)^2+(172-174.8)^2+ +(177-174.8)^2+(180-174.8)^2= =23.04+0.04+7.84+4.84+27.04=62.8 C=(65-65.2)^2+(63-65.2)^2+(63-65.2)^2+(66-65.2)^2+ +(69-65.2)^2= =0.04+4.84+4.84+0.64+14.44=24.8 Коэффициент корреляции равен r=A/sqrt(BC) = 15.88/sqrt(1557.44) = 15.88/39.46 = 0.4024 (Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 15:55)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 15:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР36. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,5. Вероятность обнаружения дефекта при приеме равна 0,95, а вероятность того что годная деталь будет забракованна равна 0,2. Найти вероятность того, что деталь будет принята системой контроля. РЕШЕНИЕ. A = {деталь принята системой контроля} H1 = {деталь является годной} H2 = {деталь является дефдктной} P(H2) = 0.5 P(H1) = 1-P(H2) = 0.5 A|H1 = {деталь принята системой контроля, если она является годной} P(A|H1) = 1-0.2 = 0.8 A|H2 = {деталь принята системой контроля, если она является дефектной} P(A|H2) = 1-0.95 = 0.05 По формуле полной вероятности P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) = 0.425
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 11 нояб. 2008 9:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР37. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 - с вероятностью 0,5 ; 5 - с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок поразил цель. К какой группе вероятнее всего принадлежит стрелок. РЕШЕНИЕ. A = {стрелок поразил цель} H1 = {стрелок из первой группы} P(H1) = 7/20 H2 = {стрелок из второй группы} P(H2) = 8/20 = 2/5 H3 = {стрелок из третьей группы} P(H3) = 5/20 = 1/4 A|H1 = {стрелок попал в цель при условии, что он из первой группы} P(A|H1) = 0.6 A|H2 = {стрелок попал в цель при условии, что он из второй группы} P(A|H2) = 0.5 A|H3 = {стрелок попал в цель при условии, что он из третьей группы} P(A|H3) = 0.7 По формуле полной вероятности P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) = = 7/20*0.6 + 8/20*0.5 + 5/20*0.7 = 117/200 H1|A = {стрелок принадлежит первой группе при условии, что он попал в цель} По формуле Байеса P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = 42/117 = 14/39 H2|A = {стрелок принадлежит второй группе при условии, что он попал в цель} По формуле Байеса P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A) = 40/117 H3|A = {стрелок принадлежит третьей группе при условии, что он попал в цель} По формуле Байеса P(H3|A) = P(H3)P(A|H3)/P(A) = 35/117 P(H1|A) > P(H2|A) P(H1|A) > P(H3|A) Таким образом, более вероятно, что данный стрелок принадлежит первой группе (Сообщение отредактировал RKI 12 нояб. 2008 12:48)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 нояб. 2008 12:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР38. Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6: груши с 0,5. и винограда 0,4. Было посажено по одному дереву каждого вида. Прижилось 2 саженца. Какое событие при этом наиболее вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился? РЕШЕНИЕ. A = {саженец винограда прижился} B = {прижилось два саженца} = {прижились: яблоко, груша ИЛИ яблоко, виноград ИЛИ груша, виноград} P(B) = 0.6*0.5*0.6 + 0.6*0.5*0.4 + 0.4*0.5*0.4 = 0.38 AB = {прижилось два саженца и один из них - виноград} = = {яблоко, виноград ИЛИ груша, виноград} P(AB) = 0.6*0.5*0.4 + 0.4*0.5*0.4 = 0.2 A|B = {саженец винограда прижился, если известно, что прижилось два саженца} P(A|B) = P(AB)/P(B) = 10/19 C = {саженец винограда не прижился, если известно, что прижилось два саженца} P(C) = 1-P(A|B) = 9/19 Наиболее вероятно, что саженец винограда прижился
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 нояб. 2008 13:05 | IP
|
|
|