Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР29.
Три стрелка произвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5; вторым - 0,4; третьим – 0.7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ.
Обозначим X - число попаданий в мишень. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - все три стрелка промахнулись
{X=0} = {1Н 2Н 3Н}
{X=1} - попал один стрелок
{X=1} = {1П 2Н 3Н; 1Н 2П 3Н; 1Н 2Н 3П}
{X=2} - попало два стрелка
{X=2} = {1П 2П 3Н; 1П 2Н 3П; 1Н 2П 3П}
{X=3} - попало три стрелка
{X=3} = {1П 2П 3П}

P(X=0) = 0.5*0.6*0.3 = 0.09
P(X=1) = 0.5*0.6*0.3 + 0.5*0.4*0.3 + 0.5*0.6*0.7 = 0.36
P(X=2) = 0.5*0.4*0.3 + 0.5*0.6*0.7 + 0.5*0.4*0.7 =  0.41
P(X=3) = 0.5*0.4*0.7 = 0.14

Ряд распределения данной случайной величины имеет вид
0         1          2           3
0.09    0.36     0.41      0.14

M(X) = 0*0.09 + 1*0.36 + 2*0.41 + 3*0.14 = 1.6
M(X^2) = 0*0.09 + 1*0.36 + 4*0.41 + 9*0.14 = 3.26
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.26 - 2.56 = 0.7

Функция распределения случайной величины имеет вид
         {0, X<0
         {0.09, 0<=X<1
F(X) = {0.45, 1<=X<2
         {0.86, 2<=X<3
         {1, X>=3


Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 нояб. 2008 14:21 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР30.
Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2 . Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М(Х)=2,6 и среднее квадратическое отклонение сигма(X)=0.8, и вероятность того, что X примет значение x1 равна 0,2.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет следующий ряд распределения
x1     x2
0.2    0.8

M(X) = x1*0.2 + x2*0.8 = 2.6
x1*0.2 + x2*0.8 = 2.6
x1 + 4x2 = 13 (*)

M(X^2) = (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 - 6.76
D(X) = (сигма(X))^2 = 0.64
(x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8 - 6.76 = 0.64
(x1)^2*0.2 + (x2)^2*0.8  = 7.4
(x1)^2 + 4(x2)^2 = 37 (**)

Из (*)
x1 = 13-4x2 (*)
Тогда (**) примет вид
(13-4x2)^2 + 4(x2)^2 = 37
169 - 104x2 + 16(x2)^2 + 4(x2)^2 = 37
20(x2)^2 - 104x2 + 132 = 0
5(x2)^2 - 26x2 + 33 = 0
x2=2.2   x1=13-4x2=4.2 (это не подходит, так как по условию задачи x1<x2)
x2=3    x1=13-4x2=1

Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид
1       3
0.2    0.8

Функция рапределения случайной величины имеет вид
         {0, X<1
F(X) = {0.2, 1<=X<3
          {1, X>=3






Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 нояб. 2008 14:46 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР31.
В ящике находится 15 деталей, из них 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Количество извлеченных окрашенных деталей - случайная величина. Найти дисперсию.
РЕШЕНИЕ.
X - количество извлеченных окрашенных деталей. Случайная величина X может принимать следующие значения
{X=0} - отсутствие в выборке окрашенных деталей
{X=1} - в выборке одна окрашенная деталь
{X=2} - в выборке две окрашенных детали
{X=3} - в выборке три окрашенных детали
{X=4} - все детали выборки окрашены

Возможностей выбрать 4 детали из имеющихся 15
n = C из 15 по 4 = 15!/11!4! = 1365
Возможностей выбрать 4 неокрашенных детали и 5 имеющихся неокрашенных
m0 = C из 5 по 4 = 5!/4!1! = 5
Возможностей выбрать 1 окрашенную деталь (из 10 имеющихся) и 3 неокрашенных (из 5 имеющихся)
m1 = 10*C из 5 по 3 = 10*5!/3!2! = 100
Возможностей выбрать 2 окрашенных детали (из 10 имеющихся) и 2 неокрашенных (из 5 имеющихся)
m2 = C из 10 по 2*C из 5 по 2 = 10!/2!8! * 5!/3!2! = 450
Возможностей выбрать 3 окрашенных детали (из 10 имеющихся) и 1 неокрашенную (из 5 имеющихся)
m3 = C из 10 по 3*5 = 10!/3!7! * 5 = 600
Возможностей выбрать 4 окрашенных детали (из 10 имеющихся)
m4 = C из 10 по 4 = 10!/4!6! = 210

P(X=0) = m0/n = 5/1365 = 1/273
P(X=1) = m1/n = 100/1365 = 20/273
P(X=2) = m2/n = 450/1365 = 90/273 = 30/91
P(X=3) = m3/n = 600/1365 = 120/273 = 40/91
P(X=4) = m4/n = 210/1365 = 42/273 = 14/91

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:
0                 1                  2               3                  4
1/273       20/273        30/91        40/91           14/91

M(X)=0*1/273+1*20/273+2*90/273+3*120/273+4*42/273=
=728/273
M(X^2)=0*1/273+1*20/273+4*90/273+9*120/273+16*42/273=
=2132/273
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=2132/273-728*728/273*273=
=52052/74529




Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 0:17 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР32.
Совместный закон распределения случайных величин Х и Y задан таблицей:
  |              Y
X |
  |       3     5     8

1    0.20  0.10  0.05

2    0.10  0.20  0.35

Найти коэффициент корреляции ро(X; Y).

РЕШЕНИЕ.
M(X) = 1*(0.2+0.1+0.05) + 2*(0.1+0.2+0.35) = 1.65
M(X^2) = 1*(0.2+0.1+0.05) + 4*(0.1+0.2+0.35) = 2.95
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2.95 - 2.7225 = 0.2275

M(Y) = 3*(0.2+0.1) + 5*(0.1+0.2) + 8*(0.05+0.35) = 5.6
M(Y^2) =9*(0.2+0.1) + 25*(0.1+0.2) + 64*(0.05+0.35) = 35.8
D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 35.8 - 31.36 = 4.44

Постороим случайную величину XY. Случайная величина XY может принимать следующие значения.
XY | 3  5  6  8  10  16
P(XY=3) = P(X=1,Y=3) = P(X=1)P(Y=3) =
= (0.2+0.1+0.05)(0.2+0.1) = 0.105
P(XY=5) = P(X=1,Y=5) = P(X=1)P(Y=5) =
= (0.2+0.1+0.05)(0.1+0.2) = 0.105
P(XY=6) = P(X=2,Y=3) = P(X=2)P(Y=3) =
= (0.1+0.2+0.35)(0.2+0.1) = 0.195
P(XY=8) = P(X=1,Y=8) = P(X=1)P(Y=8) =
= (0.2+0.1+0.05)(0.05+0.35) = 0.14
P(XY=10) = P(X=2,Y=5) = P(X=2)P(Y=5) =
= (0.1+0.2+0.35)(0.1+0.2) = 0.195
P(XY=16) = P(X=2,Y=8) = P(X=2)P(Y=8) =
= (0.1+0.2+0.35)(0.05+0.35) = 0.26

Ряд распределения случайной величины XY имеет вид
XY | 3          5          6          8        10       16
      0,105   0,105   0,195   0,14   0,195   0,26
M(XY) = 3*0.105+5*0.105+6*0.195+8.014+10*0.195+16*0.26=
=9.24

cov(X; Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 9.24 - 1.65*5.6 = 0
ро(X; Y) = cov(X; Y)/sqrt(D(X)D(Y)) = 0




 


(Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 13:20)


(Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 13:34)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 13:05 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР33.
Совместный закон распределения дискретных случайных величин задан таблицей:

 |              Y
X|
 |       3     5     8

1    0.20  0.10  0.05

2    0.10  0.20  0.35

а) найти условный закон распределения случайной величины Y при условии, что Х=1, Х=2
б) найти условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y=3, Y=5, Y=8
в) найти законы распределения случайной величины Х и случайной величины Y

РЕШЕНИЕ.
а) Y|X=1  |  3  5  8
P(Y=3|X=1) = 0.2/0.35 = 4/7
P(Y=5|X=1) = 0.1/0.35 = 2/7
P(Y=8|X=1) = 0.05/0.35 = 1/7

Y|X=1  |  3      5      8
             4/7   2/7   1/7
---------------------------------------------------
Y|X=2  |  3  5  8
P(Y=3|X=2) = 0.1/0.65 = 2/13
P(Y=5|X=2) = 0.2/0.65 = 4/13
P(Y=8|X=2) = 0.35/0.65 = 7/13

Y|X=1  |  3        5        8
             2/13   4/13   7/13

б) X|Y=3  |  1  2
P(X=1|Y=3) = 0.2/0.3 = 2/3
P(X=2|Y=3) = 0.1/0.3 = 1/3


X|Y=3  |  1       2  
             2/3    1/3
---------------------------------------------------
X|Y=5  |  1  2
P(X=1|Y=5) = 0.1/0.3 = 1/3
P(X=2|Y=5) = 0.2/0.3 = 2/3


X|Y=5  |  1       2  
             1/3    2/3
------------------------------------------------------------
X|Y=8  |  1  2
P(X=1|Y=8) = 0.05/0.4 = 1/8
P(X=2|Y=8) = 0.35/0.4 = 7/8


X|Y=8  |  1       2  
             1/8    7/8

в) X|  1         2
         0.35   0.65


Y| 3      5      8
   0.3   0.3   0.4







(Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 14:01)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 13:57 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР34.
Результаты наблюдений за временем решения 10 задач приведены в таблице:
1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
30  25  20  20  23  19  22  21  25  28
Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии времени решения задачи.

РЕШЕНИЕ.
Оценка математического ожидания находится по формуле
m = (30+25+20+20+23+19+22+21+25+28)/10 = 233/10 = 23.3

Оценка дисперсии находитсяпо формуле
D = (900+625+400+400+529+361+484+441+625+784)/10 -
- (23.3)^2 =
= 5549/10 - 542.89 = 12.01

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 15:31 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР35.
Результаты измерения роста и веса пяти курсантов приведены в таблице. Вычислите коэффициент корреляции между ростом и весом.
1        2      3      4      5
170   175  172  177  180
 65    63     63   66     69

РЕШЕНИЕ.
X=(170+175+172+177+180)/5 = 174.8
Y=(65+63+63+66+69)/5 = 65.2

A=(170-174.8)(65-65.2)+(175-174.8)(63-65.2)+
+(172-174.8)(63-65.2)+(177-174.8)(66-65.2)+
+(180-174.8)(69-65.2)=
=0.96-0.44-6.16+1.76+19.76=15.88

B=(170-174.8)^2+(175-174.8)^2+(172-174.8)^2+
+(177-174.8)^2+(180-174.8)^2=
=23.04+0.04+7.84+4.84+27.04=62.8

C=(65-65.2)^2+(63-65.2)^2+(63-65.2)^2+(66-65.2)^2+
+(69-65.2)^2=
=0.04+4.84+4.84+0.64+14.44=24.8

Коэффициент корреляции равен
r=A/sqrt(BC) = 15.88/sqrt(1557.44) = 15.88/39.46 = 0.4024





(Сообщение отредактировал RKI 10 нояб. 2008 15:55)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 10 нояб. 2008 15:32 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР36.
Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,5.
Вероятность обнаружения дефекта при приеме равна 0,95, а вероятность того что годная деталь будет забракованна  равна 0,2. Найти вероятность того, что деталь будет принята системой контроля.

РЕШЕНИЕ.
A = {деталь принята системой контроля}

H1 = {деталь является годной}
H2 = {деталь является дефдктной}
P(H2) = 0.5     P(H1) = 1-P(H2) = 0.5

A|H1 = {деталь принята системой контроля, если она является годной}
P(A|H1) = 1-0.2 = 0.8
A|H2 = {деталь принята системой контроля, если она является дефектной}
P(A|H2) = 1-0.95 = 0.05

По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2) = 0.425

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 11 нояб. 2008 9:46 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР37.
Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 - с вероятностью 0,5 ; 5 -  с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок поразил цель. К какой группе вероятнее всего принадлежит стрелок.
РЕШЕНИЕ.
A = {стрелок поразил цель}

H1 = {стрелок из первой группы}
P(H1) = 7/20

H2 = {стрелок из второй группы}
P(H2) = 8/20 = 2/5

H3 = {стрелок из третьей группы}
P(H3) = 5/20 = 1/4

A|H1 = {стрелок попал в цель при условии, что он из первой группы}
P(A|H1) = 0.6

A|H2 = {стрелок попал в цель при условии, что он из второй группы}
P(A|H2) = 0.5

A|H3 = {стрелок попал в цель при условии, что он из третьей группы}
P(A|H3) = 0.7

По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3) =
= 7/20*0.6 + 8/20*0.5 + 5/20*0.7 = 117/200

H1|A = {стрелок принадлежит первой группе при условии, что он попал в цель}
По формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = 42/117 = 14/39

H2|A = {стрелок принадлежит второй группе при условии, что он попал в цель}
По формуле Байеса
P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A) = 40/117

H3|A = {стрелок принадлежит третьей группе при условии, что он попал в цель}
По формуле Байеса
P(H3|A) = P(H3)P(A|H3)/P(A) = 35/117

P(H1|A) > P(H2|A)
P(H1|A) > P(H3|A)
Таким образом, более вероятно, что данный стрелок принадлежит первой группе




(Сообщение отредактировал RKI 12 нояб. 2008 12:48)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 нояб. 2008 12:45 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР38.
Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6: груши с 0,5. и винограда  0,4. Было посажено по одному дереву каждого вида. Прижилось 2 саженца. Какое событие при этом наиболее вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?
РЕШЕНИЕ.
A = {саженец винограда прижился}

B = {прижилось два саженца} = {прижились: яблоко, груша ИЛИ яблоко, виноград ИЛИ груша, виноград}
P(B) = 0.6*0.5*0.6 + 0.6*0.5*0.4 + 0.4*0.5*0.4 = 0.38

AB = {прижилось два саженца и один из них - виноград} =
= {яблоко, виноград ИЛИ груша, виноград}
P(AB) = 0.6*0.5*0.4 + 0.4*0.5*0.4 = 0.2

A|B = {саженец винограда прижился, если известно, что прижилось два саженца}
P(A|B) = P(AB)/P(B) = 10/19

C = {саженец винограда не прижился, если известно, что прижилось два саженца}
P(C) = 1-P(A|B) = 9/19

Наиболее вероятно, что саженец винограда прижился

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 нояб. 2008 13:05 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com