RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР39.
Стрелок А поражает цель при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 0,8, стрелок В - с вероятностью 0,7, и стрелок С с вероятностью 0,6. Был сделан залп по мишени одновременно каждым из стрелков, в результате чего 2 пули попали в цель.
Найти вероятность того , что стрелок С не попал в цель.
РЕШЕНИЕ.
E = {2 пули попали в цель} = {попали стрелки: A, B ИЛИ A, C ИЛИ B, C}
P(E) = 0.8*0.7*0.4 + 0.8*0.3*0.6 + 0.2*0.7*0.6 = 0.452
F = {стрелок C не попал в цель}
EF = {в цель попали 2 пули, но стрелок C промахнулся} =
= {попали стрелки A, B}
P(EF) = 0.8*0.7*0.4 = 0.224
F|E = {стрелок C не попал в цель, если известно, что попали в мишень две пули}
P(F|E) = P(EF)/P(E) = 0.224/0.452 = 56/113
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 нояб. 2008 11:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР40.
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне - 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взят один шар. Найти вероятность, что взят белый шар.
РЕШЕНИЕ.
A = {из третьей урны достали белый шар}
H1 = {из первой урны достали белый шар, из второй урны достали также белый шар}
P(H1) = 8/10*4/20 = 4/25
Таким образом, в третьей урне 2 белых шара
A|H1 = {из третьей урны достали белый шар, если в третьей урне 2 белых шара}
P(A|H1) = 1
H2 = {из первой урны достали черный шар, из второй урны достали также черный шар}
P(H2) = 2/10*16/20 = 4/25
Таким образом, в третьей урне 2 черных шара
A|H2 = {из третьей урны достали белый шар, если в третьей урне 2 черных шара}
P(A|H2) = 0
H3 = {из первой урны достали белый шар, из второй урны достали черный шар}
P(H3) = 8/10*16/20 = 16/25
Таким образом, в третьей урне 1 белый и 1 черный шары
A|H3 = {из третьей урны достали белый шар, если в третьей урне шары разных цветов}
P(A|H3) = 1/2
H4 = {из первой урны достали черный шар, из второй урны достали белый шар}
P(H4) = 2/10*4/20 = 1/25
Таким образом, в третьей урне 1 белый и 1 черный шары
A|H4 = {из третьей урны достали белый шар, если в третьей урне шары разных цветов}
P(A|H4) = 1/2
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(A|H3)+P(H4)P(A|H4)=
= 4/25*1 + 4/25*0 + 16/25*1/2 + 1/25*1/2 = 1/2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 нояб. 2008 11:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР41.
Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.
РЕШЕНИЕ.
n=400
m=315
p=0.8
q=1-p=0.2
По локальной теореме Муавра-Лапласа
P(m=315) =
= 1/sqrt(400*0.8*0.2)*Ф((315-400*0.8)/sqrt(400*0.8*0.2)=
= 1/8*Ф(-0.625) = 1/8*0.33 = 0.04
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 13 нояб. 2008 11:40 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР42.
Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий первого сорта будут от 300 до 340 изделий.
РЕШЕНИЕ.
n=400
m1=300
m2=340
p=0.8
q=0.2
x1=(300-400*0.8)/sqrt(400*0.8*0.2) = -2.5
x2 = (340-400*0.8)/sqrt(400*0.8*0.2) = 2.5
По интегральной теореме Муавра-Лапласа
P(300<=m<=340) = Ф(2.5) - Ф(-2.5) = 2Ф(2.5) =
= 2*0.494 = 0.988
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 14 нояб. 2008 11:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР43.
Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 авторучек.
РЕШЕНИЕ.
n=5000
p=0.0002
л = 5000*0.0002 = 1
По формуле Пуассона
P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)+P(m=3) =
= 0.34+0.37+0.18+0.06 = 0.98, где
P(m) = (л^m)*(e^(-л))/m!
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 14 нояб. 2008 12:01 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР44.
Два процента электроламп, изготовленных на заводе, в среднем имеют брак. На контроль отобрано 1000 ламп. Оцените вероятность того, что относительная частота бракованых ламп отличается от средней вероятности не более чем на один процент.
РЕШЕНИЕ.
Надо оценить вероятность неравенства
|m/1000-0.02| <= 0.01
или
10 <= m <= 30
Применяя интегральную теорему Муавра-Лапласа для n=1000, p=0.02 и 10 <= m <= 30, получаем
P(10 <= m <= 30) =
= Ф((30-1000*0.02)/sqrt(1000*0.02*0.98)) -
- Ф((10-1000*0.02)/sqrt(1000*0.02*0.98)) =
= 2Ф(2.26) = 2*0.488 = 0.976
(Сообщение отредактировал RKI 15 нояб. 2008 16:02)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 14 нояб. 2008 12:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР45.
Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет на два билета.
РЕШЕНИЕ.
n = 100
p = 0.02
m = 2
л = np = 100*0.02 = 2
По формуле Пуассона
P(m=2) = 4exp(-2)/2! = 2exp{-2}
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 нояб. 2008 16:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР46.
Завод изготавливает шарики для подшипников с номинальным деаметром 10мм. Фактический диаметр шарика случаен и распределён по нормальному закону с параметрами: m=10мм, б = 0,4мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через отверстие d1=10б7мм и проходящие через d2=9,3мм. Найти процент брака.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - диаметр шарика. Плотность распределения данной случайной величины имеет вид:
f(X) = 1/0.4sqrt(2П)*exp{-(x-10)^2/0.32}
P(9.3<=X<10.7) = Ф((10.7-10)/0.4) - Ф((9.3-10)/0.4) =
= Ф(1.75) - Ф(-1.75) = 2Ф(1.75) - значение посмотреть в табличке
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 15:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР47.
Среди 50 деталей есть 4 нестандартных. Проверяют 5 деталей. Их вынимают по одной и, проверив, возвращают. Число обнаруженных нестандартных деталей - X. Составить закон распределения случайной величины X.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - количество обнаруженных нестандартных деталей. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=0} - все детали были стандартные
{X=1} - была обнаружена одна нестандартная деталь
{X=2} - было обнаружено две нестандартных детали
{X=3} - было обнаружено три нестандартных детали
{X=4} - было обнаружено четыре нестандартных детали
{X=5} - было обнаружено пять нестандартных деталей (это возможно, так как деталь проверяют и возвращают обратно)
P(X=0) = (46/50)^5 = (23/25)^5 = 6436343/9765625
P(X=1) = C из 5 по 1*(4/50)*(46/50)^4 = 5*(2/25)*(23/25)^4 =
= 2798410/9765625
P(X=2) = C из 5 по 2*(4/50)^2*(46/50)^3 =
= 10*(2/25)^2*(23/25)^3 = 486680/9765625
P(X=3) = C из 5 по 3*(4/50)^3*(46/50)^2 =
= 10*(2/25)^3*(23/25)^2 = 42320/9765625
P(X=4) = C из 5 по 4*(4/50)^4*(46/50) =
= 5*(2/25)^4*(23/25) = 1840/9765625
P(X=5) = (4/50)^5 = (2/25)^5 = 32/9765625
Функция распределения F(X) случайной величины имеет вид:
{0, X<0
{6436343/9765625, 0<=X<1
{9234753/9765625, 1<=X<2
F(X) = {9721433/9765625, 2<=X<3
{9763753/9765625, 3<=X<4
{9765593/9765625, 4<=X<5
{1, X>=5
(Сообщение отредактировал RKI 18 нояб. 2008 15:56)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 15:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР48.
Монету подбрасывают до первого выпадения "орла", но не более 4 раз. Случайная величина - число опытов. Найти М(Х).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число опытов. Данная случайная величина может принимать следующие значения.
{X=1} - сразу выпал "орел"
{X=2} - сначала выпала решка, затем - орел
{X=3} - сначала два раза выпала решка, затем - орел
{X=4} - сначала три раза выпала решка, затем - орел ИЛИ четыре раза выпала решка (но проводить опыты более не можем по условию задачи)
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/2*1/2 = 1/4
P(X=3) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
P(X=4) = 2*1/16 = 1/8
M(X) = 1*1/2+2*1/4+3*1/8+4*1/8 = 15/8
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 15:58 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
