RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР49.
Среди кандидатов в студенческий совет факультета есть 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава на удачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Случайная величина У - количество выбранных первокурсников. Найти D(Y).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина Y может принимать следующие значения
{Y=0} - не выбрали ни одного первокурсника. Значит состав совета может быть следующим:
5 второкурсников
4 второкурсника и 1 третьекурсник
3 второкурсника и 2 третьекурсника
2 второкурсника и 3 третьекурсника
1 второкурсник и 4 третьекурсника
5 третьекурсников
{Y=1} - в совете 1 первокурсник. Значит, состав совета может иметь вид:
1 первокурсник, 4 второкурсника
1 первокурсник, 3 второкурсника и 1 третьекурсник
1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника
1 первокурсник, 1 второкурсник и 3 третьекурсника
1 первокурсник, 4 третьекурсника
{Y=2} - в совете 2 первокурсника. Значит состав совета может иметь вид:
2 первокурсника, 3 второкурсника
2 первокурсника, 2 второкурсника и 1 третьекурсник
2 первокурсника, 1 второкурсник и 2 третьекурсника
2 первокурсника, 3 третьекурсника
{Y=3} - в составе 3 третьекурсника. Значит, состав совета может быть следующим:
3 третьекурсника, 2 второкурсника
3 третьекурсника, 1 второкурсник, 1 третьекурсник
3 третьекурсника, 2 третьекурсника
P(Y=0) = (C_{5}^{5}+C_{5}^{4}*C_{7}^{1}+
+C_{5}^{3}*C_{7}^{2}+C_{5}^{2}*C_{7}^{3}+
+ C_{5}^{1}*C_{7}^{4}+C_{7}^{5})/C_{15}^{5}=
=(1+5*7+10*21+10*35+5*35+21)/3003=
= 792/3003 = 264/1001
P(Y=1) = C_{3}^{1}*(C_{5}^{4}+C_{5}^{3}*C_{7}^{1}+
+C_{5}^{2}*C_{7}^{2}+C_{5}^{1}*C_{7}^{3}+
+C_{7}^{4})/C_{15}^{5}=
=3*(5+10*7+10*21+5*35+35)/3003=
=1485/3003 = 495/1001
P(Y=2) = C_{3}^{2}*(C_{5}^{3}+C_{5}^{2}*C_{7}^{1}+
+C_{5}^{1}*C_{7}^{2}+C_{7}^{3})/C_{15}^{5}=
=3*(10+10*7+5*21+35)/3003=
= 660/3003 = 220/1001
P(Y=3) = C_{3}^{3}*(C_{5}^{2}+C_{5}^{1}*C_{7}^{1}+
+C_{7}^{2})/C_{15}^{5}= (10+5*7+21)/3003=
=66/3003 = 22/1001
M(Y) = 0*264/1001+1*495/1001+2*220/1001+3*22/1001=1
M(Y^2) = 0*264/1001+1*495/1001+4*220/1001+9*22/1001=
= 1573/1001
D(Y) = M(Y^2)-(M(Y))^2 = 1573/1001-1=572/1001
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР50.
Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,002. Найти вероятность того, что на базе получат более двух негодных изделий.
РЕШЕНИЕ.
n=500
p=0.002
л = np = 1
по формуле Пуассона
P(m>=3) = 1 - P(m=0) - P(m=1) - P(m=2) =
= 1-exp{-1}-exp{-1}-0.5*exp{-1}
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР51.
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равно 0.7. Сделано 5 выстрелов. Число поражений мишени - Х. Найти среднее квадратическое отклонение.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X может принимать следующие значения
{X=0} - нет промахов
{X=1} - один промах
{X=2} - два промаха
{X=3} - три промаха
{X=4} - четыре промаха
{X=5} - пять промахов
P(X=0) = (0.7)^5 = 0.16807
P(X=1) = 5*(0.7)^4*(0.3) = 0.36015
P(X=2) = 10*(0.7)^3*(0.3)^2 = 0.3087
P(X=3) = 10*(0.7)^2*(0.3)^3 = 0.1323
P(X=4) = 5*(0.7)*(0.3)^4 = 0.02835
P(X=5) = (0.3)^5 = 0.00243
M(X) = 0*0.16807+1*0.36015+2*0.3087+3*0.1323+
+4*0.02835+5*0.00243=
=0.36015+0.6174+0.3969+0.1134+0.01215=1.5
M(X^2)=0*0.16807+1*0.36015+4*0.3087+9*0.1323+
+16*0.02835+25*0.00243=
=0.36015+1.2348+1.1907+0.4536+0.06075=3.3
D(X) = M(X^2)-(M(X))^2 = 3.3-2.25=1.05
сигма = sqrt(D(X)) = sqrt(1.05) = 1.0247....
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР52.
Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с мат.ожиданием, равным 1, и дисперсией, равной 1, примет значение между 5 и 7.
РЕШЕНИЕ.
P(5<=X<=7) = Ф((7-1)/1)-Ф((5-1)/1) = Ф(6)-Ф(4) = 1-1 = 0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР53.
Игральная кость подбрасывается 5 раз. Случайная величина - число выпавших троек. Найти начальный момент четвертого порядка.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число выпавших троек. Случайная величина X может принимать следующие значения
{X=0} - тройка не выпала ниразу
{X=1} - тройка выпала 1 раз
{X=2} - тройка выпала 2 раза
{X=3} - тройка выпала 3 раза
{X=4} - тройка выпала 4 раза
{X=5} - тройка выпала 5 раз
P(X=0) = (5/6)^5 = 3125/7776
P(X=1) = 5*(1/6)*(5/6)^4 = 3125/7776
P(X=2) = 10*(1/6)^2*(5/6)^3 = 1250/7776
P(X=3) = 10*(1/6)^3*(5/6)^2 = 250/7776
P(X=4) = 5*(1/6)^4*(5/6) = 25/7776
P(X=5) = (1/6)^5 = 1/7776
Начальный момент четвертого порядка
M(X^4)=0*3125/7776+1*3125/7776+16*1250/7776+
+81*250/7776+256*25/7776+625*1/7776=
=(3125+20000+20250+6400+625)/7776 = 50400/7776
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР54.
Плотность распределения вероятности случайной величины X:
{0, x<=1
f(x)={Ax-0.5,1<=x,=2
{0, x>2
Нужно найти:
а) постоянную А;
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание M(x) и дисперсию D(x).
РЕШЕНИЕ.
{0, x<=1
f(x)= {Ax-0.5, 1<x<=2
{0, x>2
int_{-бесконечность}^{+бесконечность}f(x)dx=1
int_{-бесконечность}^{+бесконечность}f(x)dx =
= int_{1}^{2}(Ax-0.5)dx = Ax^2/2-0.5x|_{1}^{2} =
= 2A-1-0.5A+0.5 = 1.5A-0.5 = 1
A=1
{0, x<=1
f(x)= {x-0.5, 1<x<=2
{0, x>2
F(y) = int{-бесконечность}^{y}f(x)dx
Если y<=1, то F(y) = int{-бесконечность}^{y}0dx = 0
Если 1<y<=2, то F(y) = int{1}^{y}(x-0.5)dx=
=(x^2/2-0.5x)|_{1}^{y} = y^2/2 - 0.5y - 0.5 + 0.5 =
= 0.5y(y-1)
Если y>2, то F(y) = int{1}^{2}(x-0.5)dx=
= (x^2/2 -0.5x)|_{1}^{2} = 2-1-0.5+0.5 = 1
Таким образом
{0, x<=1
F(x) = {0.5x(x-1), 1<x<=2
{1, x>2
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность}xf(x)dx =
= int_{1}^{2}x(x-0.5)dx = int_{1}^{2}(x^2-0.5x)dx =
= x^3/3 - x^2/4 |_{1}^{2} = 8/3 - 1 - 1/3 + 1/4 = 19/12
M(X^2)=int_{-бесконечность}^{+бесконечность}x^2*f(x)dx =
= int_{1}^{2}x^2(x-0.5)dx = int_{1}^{2}(x^3-0.5x^2)dx =
= x^4/4 - x^3/6 |_{1}^{2} = 4 - 8/6 - 1/4 + 1/6 = 31/12
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 31/12 - 361/144 = 11/144
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР55.
Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 45 мм и средним квадратическим отклонением 4. Записать плотность распределения случайной величины Х и найти вероятность того, что в результате контроля Х попадет в интервал (41;49)
РЕШЕНИЕ.
f(X) = 1/4sqrt(2П)*exp{-(x-45)^2/32}
P(41<X<49) = Ф((49-45)/4) - Ф((41-45)/4) = Ф(1) - Ф(-1) =
= 2Ф(1) = 2*0.341 = 0.682
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 нояб. 2008 16:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР56.
Путём измерения получина таблица зависимости величин X и Y :
Х 4 6 8 10 12
У 5 8 7 9 14
1) построить эмпирическую линию регрессии;
2) Рассчитать коэффициенты прямой регрессии у и х;
3) записать уранение прямой регрессии у х ;
4) построить график регрессии на том же поле,где построена эмпирическая линия;
5) расчитать коэффициент корреляции;
6) сделать вывод о тесноте связи между величинами х и у.
РЕШЕНИЕ.
1) эмпирическая линия регрессии
Построить систему координат xOy
Постороить точки (4;5) (6;8) (8;7) (10;9) (12;14)
Соединить эти точки отрезками
5) коэффициент корреляции
x' = (4+6+8+10+12)/5 = 8 - оценка математического ожидания случайной величины X
y' = (5+8+7+9+14)/5 = 8.6 - оценка математического ожидания случайной величины Y
(x'')^2 = (16+4+0+4+16)/4 = 10
x'' = sqrt(10) = 3.16... - оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X
(y'')^2 = (12.96+0.36+2.56+0.16+29.16)/4 = 11.3
y'' = sqrt(11.3) = 3.36... - оценка среднего квадратического отклонения случайной величины Y
r' = (-4)(-3.6)+(-2)(-0.6)+0*(-1.6)+2*0.4+4*5.4 =
= 14.4+1.2+0+0.8+21.6 = 38
r = 38/(5*3.16*3.36) = 38/53.088 = 0.7158 - коэффициент корреляции
2) коэффициенты прямой регрессии
a = 0.7158*3.36/3.16 = 0.76...
b = 8.6 - 0.76*8 = 2.52
3) уравнение прямой регрессии
y = 0.76x+2.52
4) просто построить указанную прямую
6) корреляция считается сильной
Это говорит о том, что случайные величины очень тесно взаимосвязаны
(Сообщение отредактировал RKI 2 дек. 2008 17:44)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 дек. 2008 17:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР57.
В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между m1 и m2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность.
n = 6400, m1 = 3120, m2 = 3200.
РЕШЕНИЕ.
n = 6400
p = 0.5
q = 1-p = 0.5
m1 =3120
m2 = 3200
----------------------------------------------------------------
x1 = (3120-6400*0.5)/sqrt(6400*0.5*0.5) = -2
x2 = (3200-6400*0.5)/sqrt(6400*0.5*0.5) = 0
По интегральной теореме Муавра-Лапласа
P(3120<=m<=3200) = Ф(0)-Ф(-2) = 0.4772
--------------------------------------------------------------
Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства
np-q <= m0 <= np+p
6400*0.5-0.5 <= m0 <= 6400*0.5+0.5
3199.5 <= m0 <= 3200.5
m0 = 3200
----------------------------------------------------------------
Найдем вероятность по локальной теореме Муавра-Лапласа
P(m=3200)=1/sqrt(6400*0.5*0.5)*ф((3200-6400*0.5)/sqrt(6400*0.5*0.5)) = 0.025*ф(0) = 0.025*0.3989 = 0.0099752
(Сообщение отредактировал RKI 4 дек. 2008 14:52)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 дек. 2008 14:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР58.
Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов.
р= 0,024, m=6.
РЕШЕНИЕ.
n=1000
m =6
p=0,024
q= 1-p = 0,976
-------------------------------------------------------------
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа
P(m=6) =
= 1/sqrt(1000*0.024*0.976)*
*ф((6-1000*0.024)/sqrt(1000*0.024*0.976)) =
= 0.21* ф(-3.72) =
= 0.21* ф(3.72) =
= 0.21*0.004 = 0.000084
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 дек. 2008 14:57 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
