bekas
Долгожитель
|
Зачем же так сложно - с привлечением Герона? Есть известная формула для выражения медианы через стороны треугольника: Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a) Здесь Ma - медиана, проведенная из угла A на сторону a. По данным задачи имеем (a - неизвестная сторона,c=SQRT(13),b=1): 2 = 1/2 * SQRT(2*(1+13) - a*a) 4 = SQRT(28-a*a); 16 = 28-a*a a*a = 12 Не будем спешить и извлекать квадратный корень из 12, чтобы получить значение длины a (опять же, если для получения площади соберемся привлекать Герона - как-никак уже известны все три стороны треугольника) Опять оставим в покое Герона и заметим, что c*c = b*b + a*a, так как 13 = 1 + 12. Следовательно, треугольник прямоугольный и его площадь равна SQRT(12)/2. Теперь вернемся к доказательству формулы Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a) Пусть у нас есть треугольник ABC (то есть a=BC, b=AC, c=AB) и медиана Ma=AD (то есть BD=DC) Продолжим медиану AD на расстояние DE=AD и построим отрезки BE и EC. В полученном четырехугольнике ABEC точка D пересечения диагоналей AE=2Ma и BC=a делит каждую из них пополам; следовательно, ABEC - параллелограмм. Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме длин квадратов его сторон. Составив уравнение и решив его относительно Ma, получим искомое соотношение Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a) Действительно: (2*Ma)*(2*Ma)+(a*a) = (b*b) + (b*b) + (c*c) + (c*c) (2*Ma)*(2*Ma) = 2 * (b*b + c*c) - a*a Ma*Ma = (2 * (b*b + c*c) - a*a)/4 Ma = 1/2 * SQRT(2 * (b*b + c*c) - a*a) Для полноты решения докажем и утверждение о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме длин квадратов его сторон (хотя это и должно быть одной из базовых теорем в школьной программе). Действительно, по теореме косинусов для нашего параллелограмма ABEC: AE*AE = AB*AB + BE*BE - 2*AB*BE*cos(угол ABE) BC*BC = AB*AB + AC*AC - 2*AB*AC*cos(угол BAC) Сложим два равенства (с учетом того, что BE=AC): AE*AE + BC*BC = 2*AB*AB + 2*AC*AC - 2*AB*AC*cos(угол ABE) - 2*AB*AC*cos(угол BAC) Но так как угол ABE = 180 - угол BAC, то cos(угол ABE) = cos(180 - угол BAC) = -cos(угол BAC) Следовательно, два последних слагаемых в правой части равенства взаимно уничтожатся и получим AE*AE + BC*BC = 2*AB*AB + 2*AC*AC, а это и означает, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме длин квадратов его сторон. (Сообщение отредактировал bekas 12 фев. 2006 2:21)
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 фев. 2006 2:02 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
P.S. Очевидно, SQRT(12)/2=SQRT(3) Кроме того, теорему о медиане можно доказать сразу, базируясь на теореме косинусов для двух треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник. Там в результате суммирования равенств также произойдет взаимоуничтожение слагаемых, содержащих косинусы углов, сумма которых равна 180 градусов...
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 фев. 2006 12:51 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Пусть для внутрених углов A, B, Y треугольника выполняется равенство sin(3A/2) + sin(3B/2) - sin(3Y/2) - cos(3A/2) - cos(3B/2) - cos(3Y/2) = 1 Доказать, что один из углов треугольника равняется 60 или 120 градусов
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 фев. 2006 18:55 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, решить задачи на планиметрию: Точки M, N лежат на боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. АМ=2/3АВ, CN=1/4BC. Найти в каком отношении отрезок МN делит высоту ВD. Равнобочная трапеция, у которой угол при основании равен 60 градусам, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами делят площадь трапеции.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 фев. 2006 22:41 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
в первой у меня 11/24 получилось. во второй получается, что эта линия - средняя линия трапеции, и вроде как делит в соотношении 7/5. хотя вполне могла ошибиться в расчетах. а по сути задачки простенькие.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2006 14:26 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
miss graffiti, напиши пожалуйста решение! Очень прошу!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 фев. 2006 17:52 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
К сожалению, miss graffiti права наполовину, так как прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, действительно является средней линией, но вовсе не трапеции, а следующего равностороннего треугольника. Действительно, если продолжить боковые стороны трапеции до их пересечения X, то получается этот самый равносторонний треугольник, в который вписана окружность. Естественно, что точки касания этой окружности делят стороны равностороннего треугольника пополам, следовательно, наша прямая и будет средней линией равностороннего треугольника. Обозначим сторону равностороннего треугольника через A. Известно, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен (A * SQRT(3))/6. Очевидно, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности (A * SQRT(3))/3, а высота равностороннего треугольника равна (A * SQRT(3))/2. Таким образом, высота треугольника, образованного точкой пересечения X и меньшим верхним основанием трапеции, равна (A * SQRT(3))/2 - (A * SQRT(3))/3 = (A * SQRT(3))/6. Отсюда следует, что половина верхнего основания трапеции равна A/6, а длина верхнего основания равна A/3. Итак, длина верхнего основания трапеции равна A/6, длина нижнего основания трапеции равна A, высота трапеции равна (A * SQRT(3))/3, площадь трапеции равна (7*A*A*SQRT(3))/36 Если рассмотреть трапецию, образованную средней линией треугольника и верхним основанием исходной трапеции, то длина ее нижнего основания равна A/2, длина верхнего основания равна A/6, а высота (после несложных вычислений) равна (A * SQRT(3))/12; ее площадь соответственно равна (A*A*SQRT(3))/18 Таким образом, отношение площади только что выше рассмотренной трапеции к площади исходной трапеции составит (A*A*SQRT(3))/18 деленное на (7*A*A*SQRT(3))/36 или 2/7. Поэтому линия делит трапецию на площади в отношении 2/5
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 фев. 2006 18:41 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
первая тоже на среднюю линию... например, можно построить прямоугольничек... со сторонами, параллельными высоте и проходящими через M и N.... а дальше смотреть размеры, исходя из подобия треугольников.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2006 18:52 | IP
|
|
bekas
Долгожитель
|
miss graffiti, так как насчет трапеции (см. мое решение)?
|
Всего сообщений: 379 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 18 фев. 2006 21:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
bekas А почему, точки касания окружности делят стороны равностороннего треугольника пополам? Да и почему треугольник равносторонний?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 фев. 2006 21:58 | IP
|
|
|