RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 573 (см. пример 566, 568) Средние ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей для офиса банка составляют 1 000 рублей, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 рублей. Оценить вероятность того, что расходы на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный день не превысят 2 000 рублей, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышёва. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X - ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлежностей. Известно, что M(X) = 1000, б(X) = 200. а) P(X <= 2000) = 1 - P(X > 2000) >= 1 - M(X)/2000 = = 1 - 1000/2000 = 1 - 0.5 = 0.5 P(X <= 2000) >= 0.5 б) D(X) = (б(X))^2 = 40000 P(X <= 2000) = P(0 <= X <= 2000) = = P(0 - M(X) <= X - M(X) <= 2000) = = P(0 - 1000 <= X - M(X) <= 2000 - 1000) = = P(-1000 <= X - M(X) <= 1000) = P(|X - M(X)| <= 1000) = = 1 - P(|X - M(X)| > 1000) >= 1 - D(X)/1000000 = = 1 - 40000/1000000 = 1 - 0.04 = 0.96 P(X <= 2000) >= 0.96 Таким образом, неравенство Чебышева дает более точную оценку.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 10:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 574 По статистическим данным в среднем 87% новорождённых доживают до 50 лет (то есть вероятность дожития до 50 лет равна 0,87). С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что из 1 000 новорождённых доля (относительная частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности не более, чем на 0,04 (по модулю). РЕШЕНИЕ. Пусть случайная величина X - число новорожденных детей, доживших до 50 лет. Данная случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами n = 1000 и p = 0.87: X ~ B(1000; 0.87). M(X) = np = 1000*(0.87) = 870 D(X) = np(1-p) = 1000*(0.87)*(0.13) = 113.1 P(|X/n - 0.87| <= 0.04) = P(|X/1000 - 0.87| <= 0.04) = = P(|X - 870| <= 40) = P(|X - M(X)| <= 40) = = 1 - P(|X - M(X)| > 40) > 1 - D(X)/1600 = 1 - (113.1)/1600 = = 1 - 0.0706875 = 0.9293125 P(|X/n - 0.87| <= 0.04) >= 0.9293125
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 10:58 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 575 Доказать неравенство Йенсена. Пусть функция g(.) выпукла. Тогда для любой случайной величины X с конечным первым моментом верно неравенство: M(g(X)) >= g(M(X)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно следующее свойство. Пусть функция g(.) выпукла. Тогда для всякого y найдется число c такое, что при всех x: g(x) >= g(y) + c(x - y). Это свойство означает, что график выпуклой функции лежит полностью выше любой из касательных к этому графику. Положим x = X, y = M(X). Тогда g(X) >= g(M(X)) + c(X - M(X)). Вычислим математическое ожидание обеих частей. С левой стороны неравенства получаем M(g(X)). С правой стороны неравенства получаем M(g(M(X)) + c(X - M(X))) = M(g(M(X))) + M(c(X - M(X))) = = g(M(X)) + cM(X - M(X)) = g(M(X)) + c(M(X) - M(M(X))) = = g(M(X)) + c(M(X) - M(X)) = g(M(X)) + 0 = g(M(X)). Неравенство между математическими ожиданиями сохраняется. Следовательно, M(g(X)) >= M(g(M(X)) + c(X - M(X))) M(g(X)) >= g(M(X)).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 11:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 576 Пусть X - положительная случайная величина с конечным первым моментом. Доказать, что 1/M(X) <= M(1/X). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим функцию g(x) = 1/x на промежутке (0;+бесконечность). На данном промежутке функция g(x) является выпуклой. Воспользуемся неравенством Йенсена (пример 575): M(g(X)) >= g(M(X)) M(1/X) >= 1/M(X)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 сен. 2009 11:20 | IP
|
|
lolth3
Новичок
|
всем привет. ребята, как скинуть сюда отсканированую задачу? кто знает, подскажите, как и через какой интернет-ресурс это проделывается...
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2010 | Отправлено: 31 янв. 2010 0:25 | IP
|
|
VF
Administrator
|
Цитата: lolth3 написал 31 янв. 2010 2:25 всем привет. ребята, как скинуть сюда отсканированую задачу? кто знает, подскажите, как и через какой интернет-ресурс это проделывается...
Я обычно пользуюсь внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 1 фев. 2010 10:08 | IP
|
|
Vladimir87
Новичок
|
Пожалуйста помогите решить 1) Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым — 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер? 2)Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком 0,8, вторым – 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 15:17 | IP
|
|
Reshalka
Новичок
|
1) По формуле Байеса P(A2/A)=P(A/A2)*P(A2)/P(A) P(A)=P(A/A1)*P(A1)+P(A/A2)*P(A2) где А-не выявления дефекта А2-не выявления дефекта вторым специалистом P(A2)=0.2 P(A/A2)=P(A/A1)=0.5 P(A)=0.5*0.1+0.5*0.2=0.15 P(A2/A=0.2*0.5/0.15=2/3 ответ 2/3 2) P(A)=P(A1)*P(A2)=0.8*0.9=0.72 события независимые (Сообщение отредактировал Reshalka 7 фев. 2010 14:57)
|
Всего сообщений: 15 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 15:50 | IP
|
|
|
Reshalka
Новичок
|
Ой извините, мы немного подпортили вашу тему. Замечательно придумали. Столько задач перерешено, и многие не простые. Приятно удивлён.
|
Всего сообщений: 15 | Присоединился: февраль 2010 | Отправлено: 7 фев. 2010 16:13 | IP
|
|