RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР87. Случайная величина X имеет математическое ожидание a и дисперсию (d^2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=(X-a)/d. РЕШЕНИЕ. M(X) = a D(X) = d^2 M(Y) = M((X-a)/d) = (1/d)*M(X-a) = (1/d)*(M(X)-M(a)) = = (1/d)*(a-a) = (1/d)*0 = 0 M(Y) = 0 D(Y) = D((X-a)/d) = (1/d^2)*D(X-a) = (1/d^2)*D(X) = = (1/d^2)*(d^2) = 1 D(Y) = 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР88. Стрелок стреляет по движущейся мишени до первого попадания в неё, причём успевает сделать не более четырёх выстрелов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X - число сделанных выстрелов. Данная случайная величина принимает следующие значения {X=1} - стрелок сразу попал в мишень {X=2} - стрелок попал в мишень со второго раза {X=3} - стрелок попал в мишень с третьего раза {X=4} - стрелок попал в мишень с четвёртого раза ИЛИ не попал в мишень вообще P(X=1) = 0.6 P(X=2) = (0.4)*(0.6) = 0.24 P(X=3) = (0.4)*(0.4)*(0.6) = 0.096 P(X=4) = (0.4)*(0.4)*(0.4)*(0.4 + 0.6) = 0.064 Ряд распределения случайной величины X Имеет вид X 1 2 3 4 P 0.6 0.24 0.096 0.064 M(X) = 1*(0.6) + 2*(0.24) + 3*(0.096) + 4*(0.064) = = 0.6 + 0.48 + 0.288 + 0.256 = 1.624 M(X^2) = 1*(0.6) + 4*(0.24) + 9*(0.096) + 16*(0.064) = = 0.6 + 0.96 + 0.864 + 1.024 = 3.448 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 3.448 - 2.637376 = 0.810624
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:37 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР89. Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения X -1 0 2 P 1/4 1/4 1/2 Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение б. РЕШЕНИЕ. M(X) = (-1)*(1/4) + 0*(1/4) + 2*(1/2) = 3/4 M(X^2) = 1*(1/4) + 0*(1/4) + 4*(1/2) = 9/4 D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (9/4) - (9/16) = 27/16 б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(27)/4 = 3sqrt(3)/4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР90. Среди 10 деталей три - нужного размера. Детали извлекают поочередно, пока не подберут две детали нужного размера, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение числа извлеченных деталей. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X - число извлеченных деталей. Данная случайная величина может принимать следующие значения {X=2} - вытянули две детали нужного размера {X=3} - одна из первых двух и третья детали нужного размера {X=4} - одна из первых трёх деталей нужного размера, а четвертая деталь - нужного размера или нет ИЛИ первые три детали неподходящего размера, а четвертая деталь - нужного размера или нет P(X=2) = (3/10)*(2/9) =6/90 = 1/15 P(X=3) = C(1;2)*(7/10)*(3/9)*(2/8) = 84/720 = 7/60 P(X=4) = C(1;3)*(7/10)*(6/9)*(3/8)*(2/7 + 5/7) + + (7/10)*(6/9)*(5/8)*(4/7 + 3/7) = = 378/720 + 210/720 = 588/720 = 49/60 Ряд распределения случайной величины X имеет вид X 2 3 4 P 1/15 7/60 49/60
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 13:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР91. ОТК должен проверить 100 комплектов, состоящих из четырех изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,8. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X - число комплектов, состоящих из стандартных деталей. p = (0.8)^4 = 0.4096 - вероятность того, что комплект состоит из стандартных деталей. X=m, m=1,2,...,100 P(X=m) = ((a^m)/m!)*e^(-a), где a = np = 100*(0.4096) = 40.96 Таким образом, получаем, что случайная величина X распределена по закону Пуассона. M(X) = a = 40.96 (см.пример 79)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:11 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР92. Игральная кость подбрасывается до: а) второго; б) третьего появления грани с номером "три". Найти среднее число подбрасываний. ----------------------------------------------------------------------- РЕШЕНИЕ. а) Случайная величина X - число подбрасываний до второго появления грани с номером "три" X = A + B Случайная величина A - число подбрасываний до первого выпадения грани с номером "три". p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три" A = m, m=1,2,3,... P(A=m) = p*(1-p)^(m-1) Таким образом, получили, что случайная величина A распределена по геометрическому закону. M(A) = 1/p = 1/(1/6) = 6 Случайная величина B - число подбрасываний от первого до второго выпадения грани с номером "три". p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три" B = n, n=1,2,3,... P(B=n) = p*(1-p)^(n-1) Таким образом, получили, что случайная величина B распределена по геометрическому закону. M(B) = 1/p = 1/(1/6) = 6 M(X) = M(A+B) = M(A)+M(B) = 6+6 = 12 ----------------------------------------------------------------------------- б) Случайная величина X - число подбрасываний до третьего появления грани с номером "три" X = A + B + C Случайная величина A - число подбрасываний до первого выпадения грани с номером "три". p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три" A = m, m=1,2,3,... P(A=m) = p*(1-p)^(m-1) Таким образом, получили, что случайная величина A распределена по геометрическому закону. M(A) = 1/p = 1/(1/6) = 6 Случайная величина B - число подбрасываний от первого до второго выпадения грани с номером "три". p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три" B = n, n=1,2,3,... P(B=n) = p*(1-p)^(n-1) Таким образом, получили, что случайная величина B распределена по геометрическому закону. M(B) = 1/p = 1/(1/6) = 6 Случайная величина C - число подбрасываний от второго до третьего выпадения грани с номером "три". p = 1/6 - вероятность выпадения грани с номером "три" C = k, k=1,2,3,... P(C=k) = p*(1-p)^(k-1) Таким образом, получили, что случайная величина C распределена по геометрическому закону. M(C) = 1/p = 1/(1/6) = 6 M(X) = M(A+B+C) = M(A)+M(B)+M(C) = 6+6+6 = 18 (Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 14:45)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:26 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР93. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков при бросании четырех игральных костей. РЕШЕНИЕ. Случайная величина X - сумма выпавших очков при бросании четырех игральных костей. X = A1 + A2 + A3 + A4 Случайная величина Ai - сумма выпавших очков при бросании i-той игральной кости. Ряд распределения случайной величины Ai имеет вид: Ai 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 M(Ai) = (1/6)*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 7/2 M((Ai)^2) = (1/6)*(1+4+9+16+25+36) = 91/6 D(Ai) = M((Ai)^2) - (M(Ai))^2 = (91/6) - (49/4) = 70/24 = 35/12 M(X) = M(A1+A2+A3+A4) = M(A1)+M(A2)+M(A3)+M(A4) = = (7/2)+(7/2)+(7/2)+(7/2) = 14 D(X) = D(A1+A2+A3+A4) = D(A1)+D(A2)+D(A3)+D(A4) = = (35/12)+(35/12)+(35/12)+(35/12) = 35/3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 14:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
(Сообщение отредактировал RKI 21 янв. 2010 15:30)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 15:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР95. Бросают две правильные кости. Пусть X1, X2 - число очков на первой и второй кости соответственно, а Y - максимальное из двух выпавших чисел: Y=max{X1,X2}. Запишите совместное распределение X1 и Y. РЕШЕНИЕ. X1 - число очков на первой кости. Ряд распределения случайной величины X1 имеет вид X1 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X2 - число очков на второй кости. Ряд распределения случайной величины X2 имеет вид X2 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ------------------------------------------------------------------------ Y = max{X1, X2} Случайная величина Y принимает следующие значения {Y=1} = {X1=1, X2=1} {Y=2} = {X1=2, X2=1} + {X1=1, X2=2} + {X1=2, X2=2} {Y=3} = {X1=3, X2=1} + {X1=3, X2=2} + {X1=1, X2=3} + + {X1=2, X2=3} + {X1=3, X2=3} {Y=4} = {X1=4, X2=1} + {X1=4, X2=2} + {X1=4, X2=3} + + {X1=1, X2=4} + {X1=2, X2=4} + {X1=3, X2=4} + + {X1=4, X2=4} {Y=5} = {X1=5, X2=1} + {X1=5, X2=2} + {X1=5, X2=3} + + {X1=5, X2=4} + {X1=1, X2=5} + {X1=2, X2=5} + + {X1=3, X2=5} + {X1=4, X2=5} + {X1=5, X2=5} {Y=6} = {X1=6, X2=1} + {X1=6, X2=2} + {X1=6, X2=3} + + {X1=6, X2=4} + {X1=6, X2=5} + {X1=1, X2=6} + + {X1=2, X2=6} + {X1=3, X2=6} + {X1=4, X2=6} + + {X1=5, X2=6} + {X1=6, X2=6} P(Y=1) = P(X1=1, X2=1) = P(X1=1)*P(X2=1) = (1/6)*(1/6) = 1/36 P(Y=2) = P(X1=2, X2=1) + P(X1=1, X2=2) + P(X1=2, X2=2) = = P(X1=2)*P(X2=1) + P(X1=1)*P(X2=2) + P(X1=2)*P(X2=2) = = (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 3/36 P(Y=3) = P(X1=3, X2=1) + P(X1=3, X2=2) + P(X1=1, X2=3) + + P(X1=2, X2=3) + P(X1=3, X2=3) = = P(X1=3)*P(X2=1) + P(X1=3)*P(X2=2) + P(X1=1)*P(X2=3) + + P(X1=2)*P(X2=3) + P(X1=3)*P(X2=3) = = (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 5/36 P(Y=4) = P(X1=4, X2=1) + P(X1=4, X2=2) + P(X1=4, X2=3) + + P(X1=1, X2=4) + P(X1=2, X2=4) + P(X1=3, X2=4) + + P(X1=4, X2=4) = = P(X1=4)*P(X2=1) + P(X1=4)*P(X2=2) + P(X1=4)*P(X2=3) + + P(X1=1)*P(X2=4) + P(X1=2)*P(X2=4) + P(X1=3)*P(X2=4) + + P(X1=4)*P(X2=4) = = (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 7/36 P(Y=5) = P(X1=5, X2=1) + P(X1=5, X2=2) + P(X1=5, X2=3) + + P(X1=5, X2=4) + P(X1=1, X2=5) + P(X1=2, X2=5) + + P(X1=3, X2=5) + P(X1=4, X2=5) + P(X1=5, X2=5) = = P(X1=5)*P(X2=1) + P(X1=5)*P(X2=2) + P(X1=5)*P(X2=3) + + P(X1=5)*P(X2=4) + P(X1=1)*P(X2=5) + P(X1=2)*P(X2=5) + + P(X1=3)*P(X2=5) + P(X1=4)*P(X2=5) + P(X1=5)*P(X2=5) = = (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) = 9/36 P(Y=6) = P(X1=6, X2=1) + P(X1=6, X2=2) + P(X1=6, X2=3) + + P(X1=6, X2=4) + P(X1=6, X2=5) + P(X1=1, X2=6) + + P(X1=2, X2=6) + P(X1=3, X2=6) + P(X1=4, X2=6) + + P(X1=5, X2=6) + P(X1=6, X2=6) = = P(X1=6)*P(X2=1) + P(X1=6)*P(X2=2) + P(X1=6)*P(X2=3) + + P(X1=6)*P(X2=4) + P(X1=6)*P(X2=5) + P(X1=1)*P(X2=6) + + P(X1=2)*P(X2=6) + P(X1=3)*P(X2=6) + P(X1=4)*P(X2=6) + + P(X1=5)*P(X2=6) + P(X1=6)*P(X2=6) = = (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) + (1/6)*(1/6) = 11/36 Случайная величина Y=max{X1,X2} имеет следующий ряд распределения Y 1 2 3 4 5 6 P 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 1/36 продолжение примера 95 (Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 16:46)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 16:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИМЕРА95. P(X1=1, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=1|Y=1) = (1/36)*1 = 1/36 P(X1=2, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=2|Y=1) = (1/36)*0 = 0 P(X1=3, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=3|Y=1) = (1/36)*0 = 0 P(X1=4, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=4|Y=1) = (1/36)*0 = 0 P(X1=5, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=5|Y=1) = (1/36)*0 = 0 P(X1=6, Y=1) = P(Y=1)*P(X1=6|Y=1) = (1/36)*0 = 0 P(X1=1, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=1|Y=2) = (3/36)*(1/3) = 1/36 P(X1=2, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=2|Y=2) = (3/36)*(2/3) = 2/36 P(X1=3, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=3|Y=2) = (3/36)*0 = 0 P(X1=4, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=4|Y=2) = (3/36)*0 = 0 P(X1=5, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=5|Y=2) = (3/36)*0 = 0 P(X1=6, Y=2) = P(Y=2)*P(X1=6|Y=2) = (3/36)*0 = 0 P(X1=1, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=1|Y=3) = (5/36)*(1/5) = 1/36 P(X1=2, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=2|Y=3) = (5/36)*(1/5) = 1/36 P(X1=3, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=3|Y=3) = (5/36)*(3/5) = 3/36 P(X1=4, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=4|Y=3) = (5/36)*0 = 0 P(X1=5, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=5|Y=3) = (5/36)*0 = 0 P(X1=6, Y=3) = P(Y=3)*P(X1=6|Y=3) = (5/36)*0 = 0 P(X1=1, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=1|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36 P(X1=2, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=2|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36 P(X1=3, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=3|Y=4) = (7/36)*(1/7) = 1/36 P(X1=4, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=4|Y=4) = (7/36)*(4/7) = 4/36 P(X1=5, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=5|Y=4) = (7/36)*0 = 0 P(X1=6, Y=4) = P(Y=4)*P(X1=6|Y=4) = (7/36)*0 = 0 P(X1=1, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=1|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36 P(X1=2, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=2|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36 P(X1=3, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=3|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36 P(X1=4, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=4|Y=5) = (9/36)*(1/9) = 1/36 P(X1=5, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=5|Y=5) = (9/36)*(5/9) = 5/36 P(X1=6, Y=5) = P(Y=5)*P(X1=6|Y=5) = (9/36)*0 = 0 P(X1=1, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=1|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36 P(X1=2, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=2|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36 P(X1=3, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=3|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36 P(X1=4, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=4|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36 P(X1=5, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=5|Y=6) = (11/36)*(1/11) = 1/36 P(X1=6, Y=6) = P(Y=6)*P(X1=6|Y=6) = (11/36)*(6/11) = 6/36 Совместное распределение X1 и Y имеет вид Y 1 2 3 4 5 6 X 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36 4 0 0 0 4/36 1/36 1/36 5 0 0 0 0 5/36 1/36 6 0 0 0 0 0 6/36 (Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 17:16)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 17:15 | IP
|
|
|