RedRose
Новичок
|
   
Помогите пожалуйста вычислить интеграл
S(ydx-xdy) по L: x^(2/3) + y^(2/3) =a^(2/3).
Уже 2 недели его мучаю. Как парометризовать эту L?
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: июнь 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 1:47 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
x^(2/3) + y^(2/3) =a^(2/3)
С делаем замену
x=((a^1/3)*cos(t))^3
y=((a^1/3)*sin(t))^3
действительно, тогда
x^(2/3) + y^(2/3) =a^(2/3)<=>a^2/3=a^2/3
Дальнейшее, ясно.
Если нет, скажите.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 10:36 | IP
|
|
RedRose
Новичок
|
Хорошо. А потом что? разбиваем интеграл на 2 интеграла:
S(ydx) - S(xdy) ,
находим dx=[-3*a*sin(t)*cos(t)^2]dt ,
dy=[3*a*cos(t)*sin(t)^2]dt,
всё это подставляем, а пределы у Sydx от 0 до "пи", а у Sxdy от -("пи"/2) до ("пи"/2) ??
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: июнь 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 11:45 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Контур L представляет собой замкнуту кривую, астроиду, ввиду этого, имеем:
Int(ydx-xdy)=Int(от 0 до 2pi)f(t)dt, где f(t)dt — выражение, образованное после подстановки x(t), y(t), dx(t) и dy(t).
если хотите увидеть как это записывается, напишите свой e-mail я Вам вышлю.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 11:57 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Roman Osipov написал 24 июня 2007 11:57
Контур L представляет собой замкнуту кривую, астроиду...
Это не совсем правильно...
В записи
x^(2/3) + y^(2/3) =a^(2/3)
кривая L представляет собой лишь часть астроиды (лежащей в области x>0, y>0), ввиду того что степень x^(2/3) (или y^(2/3)) с дробным показателем (2/3) определена лишь для положительных x (или y).
Для полноправного задания астроиды следовало бы писать
|x|^(2/3) + |y|^(2/3) =a^(2/3)
или
(x^2)^(1/3) + (y^2)^(1/3) =(a^2)^(1/3).
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 июня 2007 13:53 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Прошу прощения за мой недочет.
Спасибо за Ваше ценное замечание!
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 14:08 | IP
|
|
alex142
Полноправный участник
|
Какой ответ у вас получился ?
|
Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 14:16 | IP
|
|
alex142
Полноправный участник
|
1/2 кажется упустили при формуле!!? или нет?
|
Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 14:17 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Какую формулу имеете в виду?
Та что у RedRose в задании (интеграл который необходимо вычислить)?
Если учесть замены и найти этот интеграл в пределах 0-pi (описано выше), то получите:
S(ydx-xdy)=(-3/16)*pi*(a^2).
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 14:33 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Если Вы alex142 думаете найти площадь фигуры ограниченной кривой, то ее можно вычислить так:
S=(1/2)*S(xdy-ydx), там действительно нужен множитель 1/2 перед интегралом.
Но у RedRose другой пример.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 июня 2007 14:39 | IP
|
|
Форум
Интегрирование
