undeddy
Долгожитель
|
    
Найти все значения x, для которых числа sin7x, sin4x, sinx являются последовательными членами строго возрастающей арифметической прогрессии.
(Сообщение отредактировал undeddy 24 мая 2006 12:18)
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 24 мая 2006 9:18 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
 
Для трех последовательных членов арифметической прогрессии среднее число является средним арифметическим соседних.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 24 мая 2006 9:42 | IP
|
|
KMA 
Долгожитель
|
undeddy,
по моему твое задание все же не к этой теме. Однако Trushkov прав.
Trushkov
а ссылка то не работает. 
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 11:42 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Основное характеристическое свойтсво арифметической прогрессии мне знакомо, но если его просто здесь применить, то получится не то, что нужно.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 24 мая 2006 11:52 | IP
|
|
KMA
Долгожитель
|
Почему, получается все, то, что нужно. Тебе ведь надо для начало в общем случае решить, правильно? Вот и решай:
(sin 7x +sin x)= sin 4x? если я ничего не напутал. Ну а далее. рассматриваешь все на отрезке [0; pi/2] там sin возрастает. Что-то вроде такого решения должно получиться. Хотя, может быть я и не прав.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 25 мая 2006 0:33 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
А вот новая задача:
Найти углы альфа, бета и гамма первой четверти, если известно, что в указанном порядке они составляют арифметическую прогрессию с разностью PI/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.
Можно, конечно, попытаться решить такое ур-е: tg^2(alfa + PI/12)=tg(alfa)*tg(PI/6 + alfa), но я затрудняюсь с его решением.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 1 июня 2006 15:28 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: undeddy написал 1 июня 2006 15:28
А вот новая задача:
Найти углы альфа, бета и гамма первой четверти, если известно, что в указанном порядке они составляют арифметическую прогрессию с разностью PI/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.
Обозначим угол "бета" через "x"; тогда соответственно "альфа" = (x - PI/12), "гамма"=(x + PI/12);
т.к. тангенсы углов составляют геометрическую прогрессию,
то сразу можно записать
tg(x)/tg(x - PI/12) = tg(x + PI/12)/tg(x), или,
tg^2 (x) = tg(x - PI/12)*tg(x + PI/12),
применяя формулы для тангенса суммы и разности
tg(x - PI/12)=[tg(x)-tg(PI/12)]/[1+tg(x)*tg(PI/12)],
tg(x + PI/12)=[tg(x)+tg(PI/12)]/[1-tg(x)*tg(PI/12)],
получим
tg^2 (x) = [tg^2 (x)-tg^2 (PI/12)]/[1-tg^2 (x)*tg^2 (PI/12)],
или, дабы не загромождать записи, обозначим
tg^2 (x) = t,
tg^2 (PI/12) = a,
тогда,
t = [t-a]/[1-t*a],
t *[1-t*a]=t-a,
t^2=1, откуда
tg^2 (x) =1,
x=PI/4;
Таким образом,
"альфа"=PI/6,
"бета"=PI/4,
"гамма"=PI/3.
(Сообщение отредактировал MEHT 1 июня 2006 21:28)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 1 июня 2006 21:26 | IP
|
|
Aelita
Новичок
|
Числа -35/2 и 49 являются членами арифметической прогрессии. Найдите её разность,если известно,что пятнадцатый член прогрессии равен 25/4, а первый лежит на отрезке [-60;70].
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: июль 2007 | Отправлено: 10 июля 2007 19:43 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Aelita написал 10 июля 2007 19:43
Числа -35/2 и 49 являются членами арифметической прогрессии. Найдите её разность,если известно,что пятнадцатый член прогрессии равен 25/4, а первый лежит на отрезке [-60;70].
Любопытная задачка. И в данной вами постановке она имеет бесконечное множетство решений. Прежде чем отписаться подробнее, уместно спросить: может быть вместо условия что
первый член прогрессии лежит на отрезке [-60;70].
имелось ввиду
"первый член прогрессии не лежит на отрезке [-60;70]" ?
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 11 июля 2007 8:15 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Вообщем, решение такое...
Пусть
an - энный член арифметической последовательности,
d - разность арифметической последовательности;
далее по условию
ak = 49,
am = -35/2,
где k и m - некоторые целые числа (номера членов арифм. прогрессии, заданных в условии задачи).
Формула, связывающая an с a1 имеет вид
an = a1 + (n-1)*d.
На её основании составляем систему:
a1 + (k-1)*d = 49,
a1 + (m-1)*d = -35/2,
a1 + 14*d = 25/4.
Из 3-го уравнения выражаем d:
d = [(25/4) - a1 ]/14,
подставляя которое в первые два уравнения и выражая в них k и m получаем следующую систему диофантовых (относительно k и m) уравнений:
k = 15 - (9*14*19)/(4*a1 - 25),
m = 15 + (5*14*19)/(4*a1 - 25).
Далее решение стандартное.
Величина t = (5*14*19)/(4*a1 - 25) заведомо целая, вследствие того,
что m - целое.
С учётом этого нового параметра система перепишется как
k = 15 - 9*t/5 = 15 - 2*t + t/5,
m = 15 + t.
Величина q = t/5 также целая, покуда t и k - целые.
Переходя от параметра t к q, получаем систему
k = 15 - 9*q,
m = 15 + 5*q.
Теперь выражаем a1 через q.
a1 = (25 + 266/q)/4
Из условия для a1 имеем неравенство
-60 <= a1 <= 70, откуда получаем
-(266/265)^(-1) <= q^(-1) <= (266/255)^(-1).
Это неравенство удовлетворяется при всех целых q,
за исключением значений -1, 0, 1, т.е.
q = ...; -3; -2; 2; 3; 4; ...
Разность арифм. прогрессии d, будучи выраженной через q, будет иметь вид
d = -19/(4*q).
Это и есть окончательный ответ.
Справедливость полученного результата проверяется путём непосредственной подстановки величин a1 и d в формулу для энного члена прогрессии, а далее совпадением k-го, m-го и 15-го её членов с соответсвующими заданными в условии задачи значениями.
P.S. Если предположить будто в условии говорилось
первый член прогрессии не лежит на отрезке [-60;70]
то будем иметь конечное количество решений.
Окончательный ответ будет d = -19/(4*q), при q=-1; 1, или
d = +- 19/4.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 12 июля 2007 14:15 | IP
|
|
|
Форум
Последовательности действительных чисел и операции над ними
